Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у= 4х + 9/х на промежутке [0.5;4]

Answer 1

F=4+х+4х+1/х
5х+5=0
х=-1
не входит в промежуток
f(0,5)=22наиб
f(4)=6,25 наим

Answer 2

Конечно, я помогу! Давайте начнем с того, что данная функция \(y = 4x + \frac{9}{x}\) является рациональной функцией, состоящей из двух частей: линейной (\(4x\)) и обратной (\(\frac{9}{x}\)).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале \([0.5; 4]\), нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции:

\[y = 4x + \frac{9}{x}\]

\[y' = \frac{d}{dx} \left(4x + \frac{9}{x}\right)\]

Производная функции будет равна:

\[y' = 4 - \frac{9}{x^2}\]

2. Найдем критические точки:

Чтобы найти экстремумы функции (максимум или минимум), приравняем производную к нулю и найдем точки, где это происходит:

\[4 - \frac{9}{x^2} = 0\]

Отсюда получим:

\[\frac{9}{x^2} = 4\]

\[x^2 = \frac{9}{4}\]

\[x = \pm \frac{3}{2}\]

Так как интервал \([0.5; 4]\) не содержит точек \(x = \frac{3}{2}\), то критической точкой будет только \(x = -\frac{3}{2}\).

3. Найдем значение функции в крайних точках и в найденной критической точке:

Теперь нужно вычислить значение функции в крайних точках интервала (\(x = 0.5\) и \(x = 4\)) и в критической точке (\(x = -\frac{3}{2}\)):

Для \(x = 0.5\):

\[y(0.5) = 4 \cdot 0.5 + \frac{9}{0.5} = 2 + 18 = 20\]

Для \(x = 4\):

\[y(4) = 4 \cdot 4 + \frac{9}{4} = 16 + 2.25 = 18.25\]

Для \(x = -\frac{3}{2}\):

\[y\left(-\frac{3}{2}\right) = 4 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + \frac{9}{-\frac{3}{2}} = -6 - 6 = -12\]

4. Определение наибольшего и наименьшего значений:

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале \([0.5; 4]\) равно 20, достигается при \(x = 0.5\), а наименьшее значение равно -12, достигается при \(x = -\frac{3}{2}\).