Question

Решите пример плизcos^4x-sin^4x=1/2

Answer 1

$\cos^4x-\sin^4x=0.5\\ (\cos^2 x+\sin^2x)(\cos^2x-\sin^2x)=0.5\\ \cos^2x-\sin^2x=0.5\\ \cos 2x=0.5\\ 2x=\pm \frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z\\ \\ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,n \in Z }$

Answer 2

Решение уравнения cos^4x - sin^4x = 1/2

Для решения данного уравнения мы можем воспользоваться формулой для разности квадратов, а также тригонометрическими тождествами.

1. Формула для разности квадратов: Мы знаем, что \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Мы можем применить эту формулу к уравнению \(cos^4x - sin^4x\).

2. Тригонометрические тождества: Мы также можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, такими как \(cos^2x + sin^2x = 1\) и \(cos^2x - sin^2x = cos(2x)\).

Теперь давайте приступим к решению уравнения.

1. Используем формулу для разности квадратов: \[cos^4x - sin^4x = (cos^2x + sin^2x)(cos^2x - sin^2x)\]

2. Используем тригонометрические тождества: Заметим, что \(cos^2x - sin^2x = cos(2x)\).

Таким образом, уравнение примет вид: \[(cos^2x + sin^2x)(cos(2x))\]

Теперь мы можем использовать тождество \(cos^2x + sin^2x = 1\): \[1 \times cos(2x) = cos(2x)\]

Таким образом, мы получаем, что: \[cos^4x - sin^4x = \frac{1}{2} \Rightarrow cos(2x) = \frac{1}{2}\]

3. Нахождение решений: Решим уравнение \(cos(2x) = \frac{1}{2}\) для \(x\).

Известно, что \(cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\) и \(cos(\frac{5\pi}{3}) = \frac{1}{2}\), где \(\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{5\pi}{3}\) представляют собой два различных значения угла \(x\), удовлетворяющих уравнению.

Таким образом, решениями уравнения \(cos^4x - sin^4x = \frac{1}{2}\) будут значения \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + \pi n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, уравнение \(cos^4x - sin^4x = \frac{1}{2}\) имеет бесконечное множество решений, представленных в виде \(x = \frac{\pi}{6} + \pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + \pi n\), где \(n\) - целое число.