Question

Решите уравнение1) sin 2x=корень из 3 cos x2) sin 2x=корень из 2 cos x

Answer 1

1) 2 sin x cos x - √3 cos x = 0 

cos x (2 sin x - √3) = 0

cos x = 0                             2 sin x - √3 = 0

x₁ = π/2 + πn, n∈Z              sin x = √3/2

                                           x₂ = (-1)^n · π/3 + πn, n∈Z

 

2) 2 sin x cos x - √2 cos x = 0

cos x (2sin x - √2) = 0

cos x = 0                               2 sin x - √2 = 0

x₁ = π/2 + πn, n∈Z                sin x = √2/2

                                             x₂ = (-1)^n · π/4 + πn, n∈Z 

Answer 2

Для начала, давайте решим первое уравнение: \[ \sin(2x) = \sqrt{3} \cos(x) \]

Первое уравнение

Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]

Теперь заменим \( \sin(2x) \) в уравнении: \[ 2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{3} \cos(x) \]

Решение

Теперь мы можем разделить обе стороны уравнения на \( \cos(x) \), с предварительной проверкой на \( \cos(x) \neq 0 \), чтобы найти решение.

Если \( \cos(x) \neq 0 \), то: \[ 2\sin(x) = \sqrt{3} \] \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Так как \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то у нас два решения: \[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \] где \( n \) - целое число.

Второе уравнение

Теперь рассмотрим второе уравнение: \[ \sin(2x) = \sqrt{2} \cos(x) \]

Проделаем аналогичные шаги для второго уравнения.

Используем формулу двойного угла для синуса: \[ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \]

Теперь заменим \( \sin(2x) \) в уравнении: \[ 2\sin(x)\cos(x) = \sqrt{2} \cos(x) \]

Решение

Разделим обе стороны уравнения на \( \cos(x) \), с предварительной проверкой на \( \cos(x) \neq 0 \), чтобы найти решение.

Если \( \cos(x) \neq 0 \), то: \[ 2\sin(x) = \sqrt{2} \] \[ \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Так как \( \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), то у нас два решения: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \] где \( n \) - целое число.

Итак, мы нашли решения обоих уравнений.