Question

Исследовать на возрастание и убывание функцию: y=2/3x3-32x+19

Answer 1

y'=2x^2-32

y'=0

x^2=16

x=+-4

]-4;4[ -функция убывает

x<-4 U x>4 функция возрастает

Answer 2

(-бесконечности ; -4)- возрастает
(-4;4)- убывает
(4;+бесконечности)-возрастает

Answer 3

Для исследования возрастания и убывания функции y = (2/3)x^3 - 32x + 19, мы должны проанализировать ее производную и найти точки, где она равна нулю или не существует. Эти точки, известные как критические точки, помогут нам определить интервалы возрастания и убывания функции.

Нахождение производной:

Для начала найдем производную этой функции. Обозначим функцию как f(x), тогда f'(x) будет производной функции f(x).

f(x) = (2/3)x^3 - 32x + 19

Чтобы найти производную, возьмем производную каждого члена по отдельности: f'(x) = (2/3)(3x^2) - 32

Упростим это выражение: f'(x) = 2x^2 - 32

Нахождение критических точек:

Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем f'(x) к нулю и решим уравнение:

2x^2 - 32 = 0

Решим это уравнение: 2x^2 = 32 x^2 = 16 x = ±4

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 4 и x = -4.

Исследование интервалов возрастания и убывания:

Теперь, с помощью найденных критических точек, мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции.

1. Интервал возрастания: Посмотрим, как производная меняется на интервалах между критическими точками и за пределами этих точек.

-∞ < x < -4: Подставим любое число между -∞ и -4 в выражение для производной: f'(-5) = 2(-5)^2 - 32 = 50 - 32 = 18 Так как производная положительна на этом интервале, функция возрастает на этом интервале.

-4 < x < 4: Подставим любое число между -4 и 4 в выражение для производной: f'(0) = 2(0)^2 - 32 = -32 Так как производная отрицательна на этом интервале, функция убывает на этом интервале.

4 < x < +∞: Подставим любое число между 4 и +∞ в выражение для производной: f'(5) = 2(5)^2 - 32 = 50 - 32 = 18 Так как производная положительна на этом интервале, функция возрастает на этом интервале.

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -4) и (4, +∞).

2. Интервал убывания: Функция убывает на интервале (-4, 4).

График функции:

Чтобы визуализировать эту информацию, можно построить график функции y = (2/3)x^3 - 32x + 19. На графике можно увидеть интервалы возрастания и убывания, а также критические точки.

this text is boldedНиже представлен график функции y = (2/3)x^3 - 32x + 19: 

На графике видно, что функция возрастает на интервалах (-∞, -4) и (4, +∞), а убывает на интервале (-4, 4). Критические точки x = 4 и x = -4 соответствуют точкам, где функция меняет свое направление и достигает экстремумов.