Question

Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом , если: 1) 2)

Answer 1

Докажем за определением периодической функции:
f(x) = f(x + T) = f(x − T)

(условие на область определения оно выполняется, так как синус и косинус определены на множестве всех действительных числе)

1) покажем, что выполняется $sin(x-\frac{\pi}{4})=sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)$
Это и будет означать за определением в случае синуса, что функция 
$sin(x-\frac{\pi}{4})$ периодична с периодом $2\pi$.

$sin(x-\frac{\pi}{4}+2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)+cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=$
$=sin(x-\frac{\pi}{4})*1+cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})$

$sin(x-\frac{\pi}{4}-2\pi)=sin(x-\frac{\pi}{4})cos(2\pi)-cos(x-\frac{\pi}{4})sin(2\pi)=$
$=sin(x-\frac{\pi}{4})*1-cos(x-\frac{\pi}{4})*0=sin(x-\frac{\pi}{4})$

Доказано

2) $cos(x+\frac{2\pi}{3}+2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)-sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=$
$=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1-sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})$

$cos(x+\frac{2\pi}{3}-2\pi)=cos(x+\frac{2\pi}{3})cos(2\pi)+sin(x+\frac{2\pi}{3})sin(2\pi)=$
$=cos(x+\frac{2\pi}{3})*1+sin(x+\frac{2\pi}{3})*0=cos(x+\frac{2\pi}{3})$

Доказано

Answer 2

Чтобы доказать, что функция u = f(x) является периодической с периодом T, необходимо показать, что для любого x, верно равенство f(x) = f(x + T), где T - период функции.

1) Доказательство для периода T = 2

Пусть дана функция u = f(x), и мы хотим показать, что она периодическая с периодом T = 2. Для этого нужно показать, что f(x) = f(x + 2) для любого x.

Давайте рассмотрим выражение f(x + 2):

f(x + 2) = f(x + 2 - 2) = f(x)

Мы видим, что f(x + 2) равно f(x) для любого x. Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом T = 2.

2) Доказательство для произвольного периода T

Пусть дана функция u = f(x), и мы хотим показать, что она периодическая с произвольным периодом T. Для этого нужно показать, что f(x) = f(x + T) для любого x.

Давайте рассмотрим выражение f(x + T):

f(x + T) = f(x + T - T) = f(x)

Мы видим, что f(x + T) равно f(x) для любого x. Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом T.

Таким образом, мы доказали, что функция u = f(x) является периодической с периодом T, если f(x) = f(x + T) для любого x.