Question

Полином P(x) при делении на (x+2)(x-1) дает остаток (-3x+1); при делении на (x+3)(x+1) дает остаток (x+4). найти остаток при делении полинома на (x+1)(x-1)

Answer 1

P(х)=Q(x)·(x+2)(x-1)+(-3x+1),
P(х)=R(x)·(x+3)(x+1)+(x+4),
P(х)=S(x)·(x+1)(x-1)+(ax+b),
где Q(x),R(x),S(x) - некоторые полиномы.
Тогда из первого уравнения P(1)=-2, а из третьего P(1)=a+b, т.е.
а+b=-2. Аналогично, из второго и третьего: P(-1)=3=-a+b. Отсюда, b=1/2, а=-5/2. Т.е. искомый остаток -5х/2+1/2.

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать алгоритм деления многочленов с остатком, известный как алгоритм синтетического деления или деление в столбик.

Пусть P(x) - полином, а (x+1)(x-1) - делитель. Мы должны найти остаток от деления полинома P(x) на (x+1)(x-1).

Чтобы найти остаток, нужно выполнить деление полинома P(x) на делитель (x+1)(x-1) и записать остаток.

Шаг 1: Запись полинома P(x) и делителя (x+1)(x-1)

Полином P(x): P(x) = ax^2 + bx + c (где a, b, c - коэффициенты полинома)

Делитель (x+1)(x-1): (x+1)(x-1) = (x^2 - 1)

Шаг 2: Выполнение деления с остатком

Выполним деление полинома P(x) на делитель (x+1)(x-1):

         ax + (b + a)   (остаток: (c + a + b))
________________________
x^2 - 1 | ax^2 + bx + c
         - (ax^2 - a)
         _____________
                 bx + c + a
               - (bx - b)
             _____________
                      c + a + b

Шаг 3: Ответ

Остаток от деления полинома P(x) на (x+1)(x-1) равен c + a + b.

Таким образом, остаток от деления полинома P(x) на (x+1)(x-1) равен c + a + b.