Question

Найдите сумму ряда:1) 1/3+1/9+...+1/3n+...Найдите знаменатель геометрической прогрессии {an},если :3)а2=1 ; а3= 3 под корнем -1 / 3 под корнем+1

Answer 1

1) Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

$b_1= \dfrac{1}{3};~~ q= \dfrac{1}{3}$

$S= \dfrac{b_1}{1-q}= \dfrac{ \dfrac{1}{3} }{1- \dfrac{1}{3} } = \dfrac{1}{2}$ - ОТВЕТ.

2) $a_2=1$
$a_3= \dfrac{ \sqrt{3} -1}{\sqrt{3} +1}= \displaystyle\frac{(\sqrt{3} -1)^2}{3-1}= \frac{4-2\sqrt{3} }{2} =2-\sqrt{3}$

Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, имеем что
  $a_1q=1~~~\Rightarrow~~~~a_1= \dfrac{1}{q} \\ a_1q^2=2-\sqrt{3} \\ \\ \dfrac{1}{q}\cdot q^2=2-\sqrt{3} ;~~~~~\Rightarrow ~~~~\boxed{q=2-\sqrt{3} }$

Answer 2

Для начала, посмотрим на первые несколько членов ряда: 1/3, 1/9, 1/27, ...

Чтобы найти сумму ряда, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = a / (1 - r),

где S - сумма ряда, a - первый член ряда, r - знаменатель геометрической прогрессии.

В данном случае, первый член ряда a = 1/3, а знаменатель геометрической прогрессии r = 1/3. Подставляя эти значения в формулу, получим:

S = (1/3) / (1 - 1/3).

Вычислим это выражение:

S = (1/3) / (2/3) = 1/2.

Таким образом, сумма данного ряда равна 1/2.

Теперь давайте перейдем к следующей части вопроса, где нам нужно найти знаменатель геометрической прогрессии {an}, если известны значения a2 и a3.

Известно, что a2 = 1+ и a3 = 3 под корнем -1 / 3 под корнем 1.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель:

a3 = a2 * r,

где a2 - второй член прогрессии, a3 - третий член прогрессии, r - знаменатель геометрической прогрессии.

Подставим значения a2 и a3 в это уравнение:

1+ = a2 * r,

3 под корнем -1 / 3 под корнем 1 = (1+) * r.

Теперь решим это уравнение относительно r.