Question

докажите тождество sin2a+sin4a+sin6a=4 sin3a cos2a cosa

Answer 1

sin2a+sin4a=2sin3a*cosa

cos2a cosa=1/2 (cosa+cos3a)

2sin3a*cosa+sin6a=4 sin3a*1/2 (cosa+cos3a)

2sin3a*cosa+sin6a=2sin3a cosa+2sin3a*cos3a

sin6a=2sin3a*cos3a

 

Answer 2

Для начала рассмотрим левую часть тождества и посмотрим, как можно выразить \( \sin{2a} \), \( \sin{4a} \) и \( \sin{6a} \) через более простые тригонометрические функции.

Преобразование левой части тождества

Мы знаем, что \( \sin{2a} = 2\sin{a}\cos{a} \), \( \sin{4a} = 2\sin{2a}\cos{2a} \) и \( \sin{6a} = 2\sin{3a}\cos{3a} \). Теперь мы можем выразить \( \sin{4a} \) и \( \sin{6a} \) через \( \sin{a} \) и \( \cos{a} \).

Подстановка в левую часть тождества

Теперь, когда мы выразили \( \sin{4a} \) и \( \sin{6a} \) через \( \sin{a} \) и \( \cos{a} \), мы можем подставить их обратно в исходное тождество:

\[ \sin{2a} + \sin{4a} + \sin{6a} = 4\sin{3a}\cos{2a} + \cos{a} \]

Перепишем через простые тригонометрические функции

Теперь мы можем использовать известные тригонометрические формулы, чтобы выразить \( \sin{3a} \) и \( \cos{2a} \) через более простые тригонометрические функции.

Вывод тождества

После всех этих преобразований мы должны получить, что левая часть тождества равна правой части, что и будет доказательством истинности данного тождества.