Question

решите уравнение cos(2x)+cos(6x)+2sin^2(x)=1

Answer 1

cos2x+cos6x+2sin²x=1;

cos²x-sin²x+cos6x+2sin²x-1=0;

cos²x+cos6x+sin²x-1=0;

cos²x+cos6x+sin²x-cos²x-sin²x=0;

cos 6x=0;

6x = π/2+πn;

x=π/12+πn/6, где n целое

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + cos(6x) + 2sin^2(x) = 1, мы будем использовать тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений.

Первый шаг: Приведение уравнения к более простому виду

Давайте начнем с упрощения уравнения. Мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла для cos(2x) и cos(6x). Формула для cos(2x) гласит:

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

А формула для cos(6x) гласит:

cos(6x) = 32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 18cos^2(x) - 1

Подставляя эти значения в уравнение, получим:

2cos^2(x) - 1 + 32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 18cos^2(x) - 1 + 2sin^2(x) = 1

Упрощая это уравнение, получим:

32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 20cos^2(x) + 2sin^2(x) = 3

Второй шаг: Преобразование уравнения

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы избавиться от sin^2(x) в уравнении:

32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 20cos^2(x) + 2(1 - cos^2(x)) = 3

После раскрытия скобок и упрощения получим:

32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 20cos^2(x) + 2 - 2cos^2(x) = 3

32cos^6(x) - 48cos^4(x) + 18cos^2(x) = 1

Третий шаг: Замена переменной

Для упрощения уравнения мы можем ввести новую переменную. Пусть t = cos^2(x). Тогда мы можем заменить все вхождения cos^2(x) в уравнении на t:

32t^3 - 48t^2 + 18t = 1

Четвертый шаг: Решение уравнения

Теперь у нас есть кубическое уравнение относительно переменной t. Мы можем попытаться решить его различными способами, например, методом деления на множители или методом Кардано.

Однако, для данного уравнения решение является достаточно сложным и не может быть выражено аналитически в виде простых функций. Поэтому мы можем воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления, чтобы найти приближенное решение.

Таким образом, уравнение cos(2x) + cos(6x) + 2sin^2(x) = 1 не может быть решено аналитически, и требуется использование численных методов для получения приближенного решения.