Question

Срочно решите уравнение cos2x=-cos(pi/2 - x) найти корни на участке [ -5пи/2 ; -пи)

Answer 1

Cos2x=-cos(π/2-x)

cos2x=-sinx

1-2sin²x-sinx=0
2sin²x+sinx-1=0

Пусть sinx=t ( |t|≤1 ), имеем

2t²+t-1=0
D=1+8=9; √D=3

t1=(-1+3) / 4=1/2
t2=(-1-3)/4=-1
замена

sinx=1/2; x=(-1) ^k*π/6+πk


sinx=-1; x=-π/2+2πk

корни при к= -1
х=-π/2-π=-3π/2

при к =-2

х=-π/2-2π=-5π/2

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) = -cos(pi/2 - x) на заданном интервале [-5pi/2, -pi], мы сначала можем преобразовать это уравнение, используя тригонометрические тождества. Затем найдем корни, выполнив алгебраические операции.

Преобразование уравнения

Используем тригонометрическое тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), чтобы заменить cos(2x) в уравнении:

1 - 2sin^2(x) = -cos(pi/2 - x)

Теперь заменим cos(pi/2 - x) с помощью тождества cos(pi/2 - x) = sin(x):

1 - 2sin^2(x) = -sin(x)

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0

Решение уравнения

Теперь у нас есть квадратное уравнение 2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0. Мы можем решить его с помощью различных методов, например, метода факторизации, метода квадратного корня или метода дискриминанта.

Мы воспользуемся методом дискриминанта, чтобы найти корни этого уравнения.

Для квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, дискриминант определяется как D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, уравнение имеет вид 2sin^2(x) + sin(x) - 1 = 0, поэтому a = 2, b = 1 и c = -1.

Вычислим дискриминант:

D = (1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9

Так как дискриминант D=9 больше нуля, у нас есть два различных вещественных корня.

Далее, используя формулу корней квадратного уравнения, мы можем найти значения sin(x):

sin(x) = (-b ± √D) / (2a)

sin(x) = (-1 ± √9) / (2*2)

sin(x) = (-1 ± 3) / 4

Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) sin(x) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2 2) sin(x) = (-3 - 1) / 4 = -4 / 4 = -1

Решение первого уравнения

Для первого уравнения sin(x) = 1/2, мы знаем, что синус x равен 1/2 только в двух точках на интервале [-5pi/2, -pi]. Эти точки соответствуют углам, находящимся на четверти и на третьей четверти окружности единичного радиуса.

Угол, для которого sin(x) = 1/2, равен pi/6. То есть, x = pi/6.

Решение второго уравнения

Для второго уравнения sin(x) = -1, мы знаем, что синус x равен -1 только в одной точке на интервале [-5pi/2, -pi]. Эта точка соответствует углу, находящемуся на третьей четверти окружности единичного радиуса.

Угол, для которого sin(x) = -1, равен 3pi/2. То есть, x = 3pi/2.

Ответ

Таким образом, уравнение cos(2x) = -cos(pi/2 - x) имеет два корня на заданном интервале [-5pi/2, -pi]:

x = pi/6 и x = 3pi/2.