Question

На доске написано 100 чисел:1,1/2,1/3,....,1/100.Каждую минуту проделывается следующая операция:какие-либо два числа a,b стираются и вместо них пишется одно число a+b+ab.Через некоторое время на доске остается только одно число.Какое это число?

Answer 1

Для начала заметим, что получаемые при преобразованиях выражения симметричны, то есть порядок выбора чисел неважен.
Показать это можно так:
a,b -> a + b + ab = (a + 1)(b + 1) - 1
Соответственно,
a,b,c -> (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = (a + b + ab + 1)(c + 1) - 1 = (a + 1)(b + 1)(c + 1) - 1
И так далее

Таким образом, мы можем выбрать наиболее удобный порядок выполнения операций. Будем их выполнять их сначала для 1 и 1/2, потом для результата и 1/3 и т.д.

1, 1/2 -> 1 + 1/2 + 1/2 = 2
2, 1/3 -> 2 + 1/3 + 2/3 = 3
...
k, 1/(k+1) -> k + 1/(k+1) + k/(k+1) = k + (k+1)/(k+1) = k+1

То есть, когда мы выполним операции над всеми числами, результатом будет число 100

Answer 2

Дано, что на доске написано 100 чисел: 1, 1/2, 1/3, ..., 1/100, и каждую минуту производится следующая операция: два числа a и b стираются, и вместо них записывается одно число a + b + ab. В конечном итоге, на доске остается только одно число. Мы можем использовать математическую индукцию, чтобы найти это число.

Шаг 1

Начнем с первых двух чисел: 1 и 1/2. При выполнении операции получаем: 1 + 1/2 + 1 * 1/2 = 1 + 1/2 + 1/2 = 2

Шаг 2

Теперь рассмотрим следующие два числа: 2 и 1/3. При выполнении операции получаем: 2 + 1/3 + 2 * 1/3 = 2 + 1/3 + 2/3 = 2 + 1 = 3

Шаг 3

Продолжим этот процесс для оставшихся чисел. На каждом шаге мы будем складывать два числа и добавлять их произведение к результату. Это можно записать в виде следующей рекурсивной формулы:

F(n) = F(n-1) + 1/n + F(n-1) * 1/n

где F(n) - результат на шаге n.

Шаг 4

Применяя эту формулу для всех чисел от 3 до 100, мы можем вычислить конечный результат:

F(100) = F(99) + 1/100 + F(99) * 1/100 F(99) = F(98) + 1/99 + F(98) * 1/99 ... F(3) = F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 F(2) = F(1) + 1/2 + F(1) * 1/2

Шаг 5

Используя формулу для каждого шага, мы можем вычислить конечный результат:

F(100) = F(99) + 1/100 + F(99) * 1/100 = F(98) + 1/99 + F(98) * 1/99 + 1/100 + (F(98) + 1/99 + F(98) * 1/99) * 1/100 = ... = F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + 1/4 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3) * 1/4 + ... + 1/100 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + ... + 1/100) * 1/100

Шаг 6

Продолжим вычисления:

F(100) = F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + 1/4 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3) * 1/4 + ... + 1/100 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + ... + 1/100) * 1/100 = F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + 1/4 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3) * 1/4 + ... + 1/100 + (F(2) + 1/3 + F(2) * 1/3 + ... + 1/100) * 1/100

Это рекурсивная формула, и мы можем продолжать ее применять до тех пор, пока не достигнем F(2). После вычисления всех промежуточных значений, мы получим конечный результат.

Шаг 7

Обратите внимание, что F(2) = F(1) + 1/2 + F(1) * 1/2 = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Ответ

Таким образом, конечным числом, оставшимся на доске, будет 2.