Question

Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x)=x^5+20x^2+3 на промежутке [-1;1]

Answer 1

Алгоритм такой:

1) Найдём производную:
$f(x)=x^5+20x^2+3\\f'(x)=5x^4+40x$

2. Найдём экстремумы:
$5x^4+40x=0\\x(5x^3+40)=0\\\\x_1=0\\5x^3=-40\\x^3=-8\\x_2=-2.$
Заданной области принадлежит точка $x=0$.

3. Найдём область убываения и возрастания относительно нуля: с помощью метода интервалов установим, функция убывает на промежутке $[-1;0]$ и растёт — на промежутке $[0;1]$

4. Найдём вторую производную и исследуем функцию на выпуклость:
$f''(x)=(5x^4+40x)'=20x^3+40.\\\\20x^3+40=0\\x^3+2=0\\x^3=-2\\x= \sqrt[3]{-2}$
Нам повезло — экстремум второй производной лежит вне нашей области. Методом интервалов установим, что функция на области $[-1;1]$ является вогнутой.

5. Теперь можно строить график. Найдём значение функции в точках −1 и 1: $(-1; 22)$ и $(1; 24)$

6. Суммируя все предыдущие пункты, наносим такие точки:
$> И теперь соединяем их так, чтобы функция убывала на [-1; 0] и росла— на [0; 1]. И не забываем, что функция везде должна быть вогнута. Если правильно построишь, должно получиться так: </p> <div style=$

Answer 2

Function Exploration and Graph Plotting

To explore the function \( f(x) = x^5 + 20x^2 + 3 \) on the interval \([-1, 1]\), we can start by analyzing its properties and then proceed to plot its graph.

Function Analysis

1. Function Type: The given function is a polynomial function of degree 5.

2. End Behavior: As \( x \) approaches positive or negative infinity, the function \( f(x) \) also approaches positive or negative infinity, respectively.

3. Critical Points: To find the critical points, we can take the derivative of the function and solve for \( f'(x) = 0 \) to find any local extrema.

The derivative of the function is: \[ f'(x) = 5x^4 + 40x \]

Setting \( f'(x) = 0 \) gives us the critical points: \[ 5x^4 + 40x = 0 \] \[ x(5x^3 + 40) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{or} \quad 5x^3 + 40 = 0 \]

Solving \( 5x^3 + 40 = 0 \) gives us complex roots, so the only real critical point is \( x = 0 \).

4. Interval Analysis: We are interested in the behavior of the function on the interval \([-1, 1]\). We can evaluate the function at the endpoints and the critical point to understand its behavior within this interval.

- \( f(-1) = (-1)^5 + 20(-1)^2 + 3 = -1 + 20 + 3 = 22 \) - \( f(0) = 0^5 + 20(0)^2 + 3 = 3 \) - \( f(1) = 1^5 + 20(1)^2 + 3 = 1 + 20 + 3 = 24 \)

Graph Plotting

Let's plot the graph of the function \( f(x) = x^5 + 20x^2 + 3 \) on the interval \([-1, 1]\) to visualize its behavior within this range.