Question

Log с основанием7 6x-9< log с основанием7 (2x+3)

Answer 1

Так как основания лог.-ов одинаковы  имеем право перейти к нер-ву вида

6х-9 < 2х+3  ОДЗ 6х-9 >0 x> 1,5 ; 2х+3 >0 x >-1,5
4x <12
x< 3  с учетом ОДЗ
x∈(1,5 ;3)

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов. Первым шагом будет применение свойства логарифмов, которое гласит, что \( \log_b{a} - \log_b{c} = \log_b{\frac{a}{c}} \). Мы также можем использовать другое свойство, которое утверждает, что \( \log_b{a} + \log_b{c} = \log_b{ac} \).

Применение свойств логарифмов

Мы начнем с преобразования левой части неравенства: \[ \log_7{(6x-9)} < \log_7{(2x+3)} \]

Теперь применим свойство разности логарифмов: \[ \log_7{\frac{6x-9}{2x+3}} < 0 \]

Поиск условий для неравенства

Чтобы найти условия, при которых данное неравенство будет выполняться, мы должны рассмотреть знак выражения под логарифмом. Выражение под логарифмом должно быть положительным, поскольку логарифм отрицательного числа не определен. Поэтому нам нужно найти интервалы, в которых \( \frac{6x-9}{2x+3} > 0 \).

Нахождение интервалов

Для этого решим уравнение \( \frac{6x-9}{2x+3} = 0 \), чтобы найти точку разрыва функции. Получаем \( x = 3 \).

Теперь разобьем область определения функции на интервалы, используя точку разрыва. Получаем три интервала: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), \( (3, +\infty) \).

Анализ интервалов

Теперь нам нужно определить знак выражения \( \frac{6x-9}{2x+3} \) на каждом интервале. Для этого выберем тестовую точку из каждого интервала и подставим их в выражение.

- При \( x = -4 \) (в интервале \( (-\infty, -3) \)) получаем \( \frac{6(-4)-9}{2(-4)+3} = \frac{-33}{-5} > 0 \). - При \( x = 0 \) (в интервале \( (-3, 3) \)) получаем \( \frac{6(0)-9}{2(0)+3} = \frac{-9}{3} < 0 \). - При \( x = 4 \) (в интервале \( (3, +\infty) \)) получаем \( \frac{6(4)-9}{2(4)+3} = \frac{15}{11} > 0 \).

Окончательный ответ

Таким образом, неравенство \( \log_7{\frac{6x-9}{2x+3}} < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -3) \) и \( (3, +\infty) \). Следовательно, решение исходного неравенства \( \log_7{(6x-9)} < \log_7{(2x+3)} \) состоит из объединения этих интервалов:

\[ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) \]

Таким образом, значение переменной \( x \) должно принадлежать указанным интервалам, чтобы исходное неравенство выполнялось.