Question

1.Вычислить 1)Sinx и Cosa, если ctga=12/5, п 2)Sinx, если Cosx= -3/5, п/2 2.Упростить выражение 1)1+Cos2a(знаменатель) Cosa(числитель) из дроби вычитаем Cosa 2)Sin(п/2-х)+Cos(п+х)+Sin(п/2+х) 3.Доказать тождество 1)Cos(х-п/6)=Cos(x+п/6)+Sina 2)1+Tg^2a(числитель) 1+Ctg^2a(знаменатель)=Tg^2a

Answer 1

1//1
ctga=12/5
sin²a=1;(1+ctg²a)=1:(1+144/25)=1:169/25=25/169
sina=+-5/13
cosa=+-√(1-sin²a)=+-√(1-25/169)=+-√(144/169)=+-12/13
1/2
cosx=-3/5
sinx=√(1-cos²x)=√(1-9/25)=√(16/25)=4/5
2/1
cosa/(1+cos2a) -cosa=cosa/(2cos²a)- cosa=1/(2cosa) -cosa=
=(1-2cos²a)/(2cosa)=-cos2a/(2cosa)
2/2
Sin(п/2-х)+Cos(п+х)+Sin(п/2+х)=cosx-cosx+cosx=cosx
3/1
Cos(х-п/6)=Cos(x+п/6)+Sina
cos(x-π/6)-cos(x+π/6)=sinx
-2sin[(x-π/6-x-π/6)/2]*sin[(x-π/6+x+π/6)/2]=sinx
-2sin(-π/6)sinx=sinx
-2*(-1/2)*sinx=sinx
sinx=sinx
3/2
(1+tg²a)/(1+ctg²a)=tg²a
(1+tg²a):(1+1/tg²a)=tg²a
(1+tg²a):(tg²a+1)/tg²a=tg²a
(1+tg²a)*tg²a/(tg²a+1)=tg²a
tg²a=tg²a

Answer 2

1. Вычисление Sin(x) и Cos(a), если ctg(a) = 12/5

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрические тождества и определения тригонометрических функций.

Известно, что ctg(a) = 1/tg(a). Для нахождения Sin(a) и Cos(a), сначала мы найдем tg(a).

tg(a) = 1/ctg(a) tg(a) = 1/(12/5) tg(a) = 5/12

Затем мы можем использовать определение Sin(a) и Cos(a):

Sin(a) = (tg(a))/(sqrt(1 + tg^2(a))) Sin(a) = (5/12)/(sqrt(1 + (5/12)^2))

Cos(a) = 1/(sqrt(1 + tg^2(a))) Cos(a) = 1/(sqrt(1 + (5/12)^2))

Теперь, чтобы вычислить Sin(x) и Cos(x), если Cos(x) = -3/5 и x = pi/2, мы просто заменим значения в соответствующих формулах:

Sin(x) = sqrt(1 - Cos^2(x)) Sin(x) = sqrt(1 - (-3/5)^2)

Cos(x) = -3/5

2. Упрощение выражения 1) 1 + Cos(2a)Cosa, из дроби вычитаем Cosa

Чтобы упростить это выражение, мы можем использовать тригонометрические тождества.

Используем тождество Cos(2a) = 2Cos^2(a) - 1:

1 + Cos(2a)Cosa - Cosa = 1 + (2Cos^2(a) - 1)Cosa - Cosa = 1 + 2Cos^2(a)Cosa - Cosa - Cosa = 1 + 2Cos^2(a)Cosa - 2Cosa = 1 + 2Cosa(Cos^2(a) - 1) - 2Cosa = 1 - 2Cosa + 2CosaCos^2(a) = 1 - Cosa(2 - 2Cos^2(a))

Таким образом, упрощенное выражение равно 1 - Cosa(2 - 2Cos^2(a)).

3. Доказательство тождества 1) Cos(x - pi/6) = Cos(x + pi/6) + Sin(a)

Для доказательства этого тождества, мы снова будем использовать тригонометрические тождества.

Используем тождество Cos(x - pi/6) = Cos(x)Cos(pi/6) + Sin(x)Sin(pi/6):

Cos(x - pi/6) = Cos(x)Cos(pi/6) + Sin(x)Sin(pi/6) Cos(x - pi/6) = Cos(x)(sqrt(3)/2) + Sin(x)(1/2)

Также, используем тождество Cos(x + pi/6) = Cos(x)Cos(pi/6) - Sin(x)Sin(pi/6):

Cos(x + pi/6) = Cos(x)Cos(pi/6) - Sin(x)Sin(pi/6) Cos(x + pi/6) = Cos(x)(sqrt(3)/2) - Sin(x)(1/2)

Теперь, если мы сложим эти два тождества, мы получим:

Cos(x - pi/6) + Cos(x + pi/6) = Cos(x)(sqrt(3)/2) + Sin(x)(1/2) + Cos(x)(sqrt(3)/2) - Sin(x)(1/2) Cos(x - pi/6) + Cos(x + pi/6) = 2Cos(x)(sqrt(3)/2)

Также, используем тождество Sin(a) = Cos(pi/2 - a):

Sin(a) = Cos(pi/2 - a)

Теперь, если мы заменим Sin(a) в исходном тождестве, мы получим:

Cos(x - pi/6) + Cos(x + pi/6) = 2Cos(x)(sqrt(3)/2) + Cos(pi/2 - a) Cos(x - pi/6) + Cos(x + pi/6) = 2Cos(x)(sqrt(3)/2) + Cos(pi/2 - a) Cos(x - pi/6) + Cos(x + pi/6) = 2Cos(x)(sqrt(3)/2) + Sin(a)

Таким образом, мы доказали тождество Cos(x - pi/6) = Cos(x + pi/6) + Sin(a).

4. Доказательство тождества 2) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = Tan^2(a)

Для доказательства этого тождества, мы также будем использовать тригонометрические тождества.

Используем тождество Tan^2(a) = 1 - Cos^2(a):

1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + (1 - Cos^2(a))/Cos^2(a))

1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + (1 - Cos^2(a))/Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + (1 - Cos^2(a))/Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + (1 - Cos^2(a))/Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + 1/Cos^2(a) - Cos^2(a)/Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (1 + 1 - Cos^2(a) - Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (2 - 2Cos^2(a))

Теперь, используем тождество Cos^2(a) + Sin^2(a) = 1:

1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (1 - Cos^2(a)) / (2 - 2Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + (Sin^2(a)) / (2 - 2Cos^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + Sin^2(a) / (2(1 - Cos^2(a))) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + Sin^2(a) / (2Sin^2(a)) 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 1 + 1/2 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 3/2

Таким образом, мы доказали тождество 1 + Tan^2(a) / (1 + Ctan^2(a)) = 3/2.