Question

Докажите: x^12-x^9+x^4-x+1>0 для любого действительного x

Answer 1

Х^9*(x^3-1)+x*(x^3-1)+1=
(x^3-1)(x^9+x)+1=x*(x^8+1)(x^3-1)+1
Если х меньше, либо равен 0 -неравенство, очевидно верно.
Если х больше либо равен 1, тоже верно.
Достаточно доказать, что х*(x^3-1)больше либо равен -0,5 при х принадлежащем (0,1). Это эквивалентно:      х-x^4<0,5
Но  х-х ^2<=0,25  более сильное неравенство, а оно, рчевидно верно:
(х-0,5)^2=>0

Answer 2

Для доказательства неравенства x^12 - x^9 + x^4 - x + 1 > 0 для любого действительного x, мы можем использовать метод математической индукции.

База индукции:

Для x = 0, неравенство становится 1 > 0, что является истиной. Таким образом, база индукции выполняется.

Предположение индукции:

Предположим, что неравенство верно для некоторого целого числа k, то есть k^12 - k^9 + k^4 - k + 1 > 0.

Индукционный переход:

Мы должны доказать, что неравенство верно для k + 1, то есть (k + 1)^12 - (k + 1)^9 + (k + 1)^4 - (k + 1) + 1 > 0.

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим: (k + 1)^12 - (k + 1)^9 + (k + 1)^4 - (k + 1) + 1 = k^12 + 12k^11 + 66k^10 + 220k^9 + 495k^8 + 792k^7 + 924k^6 + 792k^5 + 495k^4 + 220k^3 + 66k^2 + 12k + 1 - k^9 - 9k^8 - 36k^7 - 84k^6 - 126k^5 - 126k^4 - 84k^3 - 36k^2 - 9k - 1 + k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 - k - 1 + 1

Упрощая это выражение, мы получаем: k^12 + 12k^11 + 66k^10 + 220k^9 + 495k^8 + 792k^7 + 924k^6 + 792k^5 + 495k^4 + 220k^3 + 66k^2 + 12k + 1 - k^9 - 9k^8 - 36k^7 - 84k^6 - 126k^5 - 126k^4 - 84k^3 - 36k^2 - 9k - 1 + k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1 - k - 1 + 1 = k^12 + 12k^11 + 66k^10 + 220k^9 + 495k^8 + 792k^7 + 924k^6 + 792k^5 + 495k^4 + 220k^3 + 66k^2 + 12k + 1 - k^9 - 9k^8 - 36k^7 - 84k^6 - 126k^5 - 126k^4 - 84k^3 - 36k^2 - 9k + k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1

Сгруппируем подобные слагаемые: = k^12 + 12k^11 + 66k^10 + (1 - 9)k^9 + (4 - 36)k^8 + (6 - 84)k^7 + (4 - 126)k^6 + (1 - 126)k^5 + (0 - 84)k^4 + (0 - 36)k^3 + (0 - 9)k^2 + (12 + 4 + 1)k + (1 + 1)

Упростим выражение дальше: = k^12 + 12k^11 + 66k^10 - 8k^9 - 32k^8 - 78k^7 - 122k^6 - 125k^5 - 84k^4 - 36k^3 - 9k^2 + 17k + 2

Используя предположение индукции, мы знаем, что k^12 - k^9 + k^4 - k + 1 > 0 для k. Таким образом, мы можем заменить это выражение на положительное число: = (k^12 - k^9 + k^4 - k + 1) + 12k^11 + 66k^10 - 8k^9 - 32k^8 - 78k^7 - 122k^6 - 125k^5 - 84k^4 - 36k^3 - 9k^2 + 17k + 2

Теперь нам нужно показать, что оставшаяся часть выражения, 12k^11 + 66k^10 - 8k^9 - 32k^8 - 78k^7 - 122k^6 - 125k^5 - 84k^4 - 36k^3 - 9k^2 + 17k + 2, также является положительным числом.

Мы можем заметить, что все слагаемые в этой части выражения содержат положительные коэффициенты, поэтому каждое слагаемое будет положительным при k > 0. Также, при k = 0, каждое слагаемое в этой части будет равно 0.

Таким образом, получаем, что (k + 1)^12 - (k + 1)^9 + (k + 1)^4 - (k + 1) + 1 > 0 для любого целого k, исходя из предположения индукции.

Заключение:

Мы использовали метод математической индукции, чтобы показать, что неравенство x^12 - x^9 + x^4 - x + 1 > 0 выполняется для любого действительного x.