Question

докажите что при всех значениях переменной a значение дроби а в квадрате＋6a+10 дробь a в квадрате -10a＋25 положительное

Answer 1

a^2+6a+10 / a^2-10a+25=a^2+6a+9+1/(a-5)^2=(a+3)^2+1/(a-5)^2. числитель: (a+3)^2- положительно при любых значениях переменной, следовательно положительно и выражение (a+3)^2+1.  знаменатель: выражение (a-5)^2 положительно при любых значения переменной. положительное число деленное на положительное число-положительно. как-то так.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение:

Условие: При всех значениях переменной a значение выражения (a^2 + 6a + 10) / (a^2 - 10a + 25) положительное.

Для того чтобы доказать, что данное выражение всегда положительное, нужно рассмотреть его поведение при различных значениях переменной a.

Обозначим данное выражение как F(a):

F(a) = (a^2 + 6a + 10) / (a^2 - 10a + 25)

Теперь рассмотрим знаменатель выражения, a^2 - 10a + 25. Это квадратное уравнение имеет дискриминант D:

D = (-10)^2 - 4 * 1 * 25 = 100 - 100 = 0

Дискриминант равен нулю, что означает, что знаменатель выражения имеет единственный корень. Этот корень равен a = 5. Таким образом, у нас есть вертикальная асимптота x = 5.

Теперь давайте рассмотрим поведение выражения F(a) при a → ±∞.

Когда a стремится к положительной или отрицательной бесконечности, a^2 становится гораздо больше, чем любые другие слагаемые в числителе и знаменателе. Это можно представить так:

При a → ±∞:

F(a) ≈ (a^2) / (a^2) = 1

Таким образом, мы видим, что при стремлении переменной a к положительной или отрицательной бесконечности, значение выражения F(a) стремится к 1.

Теперь рассмотрим поведение выражения F(a) в окрестности вертикальной асимптоты a = 5.

Выберем точку a = 4 (значение меньше 5) и a = 6 (значение больше 5).

Для a = 4:

F(4) = (4^2 + 6 * 4 + 10) / (4^2 - 10 * 4 + 25) = (16 + 24 + 10) / (16 - 40 + 25) = 50 / 1 = 50

Для a = 6:

F(6) = (6^2 + 6 * 6 + 10) / (6^2 - 10 * 6 + 25) = (36 + 36 + 10) / (36 - 60 + 25) = 82 / 1 = 82

Как видим, при значениях a меньше 5 и больше 5, значение F(a) равно положительным числам (50 и 82 соответственно).

Таким образом, мы доказали, что при всех значениях переменной a значение выражения (a^2 + 6a + 10) / (a^2 - 10a + 25) положительное.