Question

Исследовать функцию на экстремумы и монотонность у=х/е^х

Answer 1

Ответ:

Объяснение:  y'=(x/eˣ)'= (x'eˣ - x(eˣ)')/(eˣ)²=(eˣ-xeˣ)/e²ˣ= (1-x)/eˣ.    Найдём критические точки, решив уравнение y'=0 ⇒(1-x)/eˣ=0 ⇒ 1 - x=0 ⇒ x=1 критическая точка; найдём знаки производной справа и слева от критической точки:  y'(2)<0, у'(0,5)>0 т.е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с + на -, поэтому х=1 точка максимума, на (-∞;1) функция возрастает, на (1;+∞) убывает.

Answer 2

Для исследования функции $y = \frac{x}{e^x}$ на экстремумы и монотонность, давайте выполним несколько шагов анализа:

1. Найдем производную функции:

   $y' = \frac{e^x - x e^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{1 - x}{e^x}$

2. Решим уравнение $y' = 0$ для поиска критических точек:

   $\frac{1 - x}{e^x} = 0$

   Это уравнение имеет единственное решение: $x = 1$.

3. Анализ знаков производной:

   • Для $x < 1$, $1 - x > 0$, а $e^x > 0$, следовательно, $y' > 0$, и функция возрастает на этом интервале.
   • Для $x > 1$, $1 - x < 0$, а $e^x > 0$, следовательно, $y' < 0$, и функция убывает на этом интервале.

4. Анализ поведения функции на краях области определения:

   Функция определена для всех действительных чисел $x$. При $x \to -\infty$, $e^x$ стремится к нулю, и функция также стремится к нулю. При $x \to +\infty$, $e^x$ стремится к бесконечности быстрее, чем $x$, следовательно, функция убывает до нуля.

Итак, с учетом проведенного анализа:

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, 1)$.
• Функция убывает на интервале $(1, +\infty)$.
• Функция имеет локальный максимум в точке $x = 1$, и этот максимум равен $y(1) = \frac{1}{e}$.

Таким образом, функция $y = \frac{x}{e^x}$ возрастает на интервале $(-\infty, 1)$, убывает на интервале $(1, +\infty)$ и имеет локальный максимум в точке $x = 1$.