Question

Вычислить длину дуги кривой - кардиоида

Answer 1

$L:\ \rho=7\, (1+cos\varphi )\\\\\rho'=-7\, sin\varphi \\\\\rho^2+(\rho')^2=49(1+cos\varphi )^2+49sin^2\varphi =49\cdot (1+2cos\varphi +\underbrace {cos^2\varphi +sin^2\varphi }_{1})=\\\\=49\cdot 2\, (1+cos\varphi )=49\cdot 2\cdot 2\, cos^2\dfrac{\varphi }{2}=49\cdot 4\ cos^2\dfrac{\varphi }{2}$

$\dfrac{1}{2}\, L=\int\limits^{\pi }_0\, \sqrt{\rho^2+(\rho')^2}\ d\varphi = \int\limits^{\pi }_0\ \sqrt{49\cdot 4\, cos^2\dfrac{\varphi }{2}}\ d\varphi =\int\limits^{\pi }_0\ 7\cdot 2\cdot cos\dfrac{\varphi }{2}\ d\varphi =\\\\\\=14\cdot 2\, sin\dfrac{\varphi }{2}\ \Big|_0^{\pi }=28\cdot (sin\dfrac{\pi}{2}-sin0)=28\\\\\\L=2\cdot 28=56$

Answer 2

Для вычисления длины дуги кривой, такой как кардиоида, используется интеграл. Кардиоида - это кривая, описываемая уравнением в полярных координатах:

$r(\theta) = a(1 + \cos(\theta))$

где $a$ - параметр, определяющий размер кардиоиды. Чтобы найти длину дуги данной кардиоиды между двумя углами $\theta_1$ и $\theta_2$, используем следующий интеграл:

$L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta$

где $r$ - радиус кривой, а $\frac{dr}{d\theta}$ - производная радиуса по углу $\theta$.

Сначала найдем производную $\frac{dr}{d\theta}$ для данной кардиоиды:

$\frac{dr}{d\theta} = a \frac{d}{d\theta}(1 + \cos(\theta)) = -a\sin(\theta)$

Теперь мы можем вычислить длину дуги кардиоиды. Предположим, что мы хотим найти длину дуги между двумя углами $\theta_1$ и $\theta_2$. В нашем случае, $r(\theta) = a(1 + \cos(\theta))$, и $\frac{dr}{d\theta} = -a\sin(\theta)$. Таким образом, интеграл для вычисления длины дуги будет выглядеть следующим образом:

$L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\left(a(1 + \cos(\theta))\right)^2 + \left(-a\sin(\theta)\right)^2} d\theta$

Теперь вы можете подставить значения $\theta_1$ и $\theta_2$ и вычислить интеграл, чтобы найти длину дуги кардиоиды между заданными углами.