Question

Найдите корни уравнения cos x-cos2x=1 на интервале (-3π/4; π)​

Answer 1

Ответ:

cosx-cos2x=1

cosx=1+cos2x

1=(cosx)^2+ (sinx)^2 будем писать 1 как a=1, cos2x= (cosx)^2 -(sinx)^2 будем писать cos2x=b

cosx= a+b= 2(cosx)^2 делим обе части на cosx:

2cosx=1 => cosx=1/2 x= +-arccos1/2

x= +-π/3

Answer 2

Для нахождения корней уравнения $\cos(x) - \cos^2(x) = 1$ на интервале $\left(-\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$, давайте рассмотрим это уравнение шаг за шагом.

1. Начнем с уравнения: $\cos(x) - \cos^2(x) = 1$.

2. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Заметим, что $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$. Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

$\cos(x) - (1 - \sin^2(x)) = 1$.

3. Далее, упростим уравнение:

$\cos(x) - 1 + \sin^2(x) = 1$.

4. Перенесем 1 на другую сторону уравнения:

$\cos(x) + \sin^2(x) = 2$.

5. Теперь используем тождество $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$:

$\cos(x) + (1 - \cos^2(x)) = 2$.

6. Преобразуем уравнение:

$-\cos^2(x) + \cos(x) - 1 = 0$.

7. Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Давайте решим его сначала для $\cos(x)$:

$\cos^2(x) - \cos(x) + 1 = 0$.

8. Решим это уравнение с помощью квадратного уравнения. Дискриминант $D$ равен:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Поскольку дискриминант отрицателен, у нас нет действительных корней для $\cos(x)$.

9. Теперь вернемся к исходному уравнению и рассмотрим его на интервале $\left(-\frac{3\pi}{4}, \pi\right)$. Поскольку $\cos(x)$ и $\sin(x)$ являются периодическими функциями, мы можем искать корни на этом интервале:

$-\frac{3\pi}{4} < x < \pi$.

10. Так как у нас нет действительных корней для $\cos(x)$, то уравнение не имеет корней на заданном интервале.