Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТАдокажите тождество4sin^6a+4cos^6a-1=3cos2a​

Answer 1

$4Sin^{6}\alpha+4Cos^{6} \alpha -1=4(Sin^{6}\alpha +Cos^{6}\alpha)-1=4[(Sin^{2}\alpha)^{3} +(Cos^{2}\alpha)^{3}]-1=\\\\=4[\underbrace{(Sin^{2} \alpha+Cos^{2} \alpha)}_{1}( Sin^{^{4} }\alpha-Sin^{2}\alpha Cos^{2}\alpha+Cos^{4}\alpha)]-1=\\\\=4[(Sin^{2}\alpha+Cos^{2} \alpha)^{2} -3Sin^{2} \alpha Cos^{2}\alpha]-1=4(1-3Sin^{2} \alpha Cos^{2}\alpha)-1=\\\\=4-12Sin^{2} \alpha Cos^{2}\alpha-1=3-12Sin^{2} \alpha Cos^{2}\alpha=3(1-4Sin^{2} \alpha Cos^{2}\alpha)=$

$=3(1-Sin^{2} 2\alpha)=\boxed{3Cos^{2}2\alpha}$

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

4sin^6(a) + 4cos^6(a) - 1 = 3cos(2a)

Для начала, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для sin^2 и cos^2:

sin^2(a) + cos^2(a) = 1

Теперь возведем обе стороны этого уравнения в степень 3:

(sin^2(a) + cos^2(a))^3 = 1^3

(sin^2(a))^3 + 3(sin^2(a))^2(cos^2(a)) + 3(sin^2(a))(cos^2(a))^2 + (cos^2(a))^3 = 1

Теперь мы можем заметить, что первый и последний члены слева равны sin^6(a) и cos^6(a) соответственно. Второй и третий члены можно переписать с использованием замены sin^2(a) * cos^2(a) = 1/4(sin(2a))^2:

sin^6(a) + 3(1/4(sin(2a))^2)sin^2(a) + 3(1/4(sin(2a))^2)(cos^2(a)) = 1

Теперь заметим, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1 и перепишем sin^2(a) и cos^2(a) через это тождество:

sin^6(a) + 3(1/4(sin(2a))^2)(1 - cos^2(a)) + 3(1/4(sin(2a))^2)(cos^2(a)) = 1

Теперь упростим это уравнение:

sin^6(a) + 3/4(sin(2a))^2 - 3/4(sin(2a))^2(cos^2(a)) + 3/4(sin(2a))^2(cos^2(a)) = 1

Теперь выразим sin(2a) через cos(2a) с использованием тригонометрической формулы sin(2a) = 2sin(a)cos(a):

sin^6(a) + 3/4(2sin(a)cos(a))^2 = 1

sin^6(a) + 3/4(4sin^2(a)cos^2(a)) = 1

sin^6(a) + 3sin^2(a)cos^2(a) = 1

Теперь мы можем использовать формулу для cos(2a) = 2cos^2(a) - 1:

sin^6(a) + 3sin^2(a)(1 - sin^2(a)) = 1

sin^6(a) + 3sin^2(a) - 3sin^4(a) = 1

Теперь упростим это уравнение:

3sin^2(a) - 3sin^4(a) + sin^6(a) = 1

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения имеет вид (sin^2(a))^3, что можно записать как (sin^2(a))^3 = (sin^2(a))^2 * sin^2(a):

(sin^2(a))^2 * sin^2(a) = 1

(sin^2(a))^2 * sin^2(a) = sin^2(a)

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

(sin^2(a))^2 * (sin^2(a))^2 = sin^2(a)^2

(sin^2(a))^4 = sin^2(a)^2

Теперь вернемся к исходному уравнению:

4sin^6(a) + 4cos^6(a) - 1 = 3cos(2a)

Теперь мы видим, что 4cos^6(a) можно записать как 4(1 - sin^2(a))^3:

4(1 - sin^2(a))^3 - 1 = 3cos(2a)

Теперь мы заметили, что (1 - sin^2(a))^3 = sin^2(a), как мы показали ранее. Подставим это значение:

4(sin^2(a)) - 1 = 3cos(2a)

Теперь вспомним, что sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

4(sin^2(a)) - 1 = 3(1 - sin^2(a))

Теперь упростим это уравнение:

4sin^2(a) - 1 = 3 - 3sin^2(a)

Теперь перегруппируем члены:

4sin^2(a) + 3sin^2(a) = 3 + 1

7sin^2(a) = 4

Теперь разделим обе стороны на 7:

sin^2(a) = 4/7

Теперь извлечем квадратный корень с обеих сторон:

sin(a) = ±√(4/7)

Теперь мы нашли значение sin(a), и теперь можем выразить cos(a) через это значение, используя тождество sin^2(a) + cos^2(a) = 1:

cos^2(a) = 1 - sin^2(a)

cos^2(a) = 1 - 4/7

cos^2(a) = 3/7

cos(a) = ±√(3/7)

Теперь мы нашли значения sin(a) и cos(a). Мы можем проверить, что они удовлетворяют исходному тождеству:

4sin^6(a) + 4cos^6(a) - 1 = 4(4/7)^3 + 4(3/7)^3 - 1 = 64/343 + 108/343 - 1 = (64 + 108 - 343)/343 = -171/343

3cos(2a) = 3cos(2arctan(√(3/7))) = 3(√(3/7))^2 - 1 = 3/7 * 3 - 1 = 9/7 - 1 = 2/7

Мы видим, что левая сторона равна -171/343, а правая сторона равна 2/7, что не соответствует исходному тождеству. Возможно, я где-то сделал ошибку в процессе доказательства. Могу попробовать перепроверить доказательство или помочь вам в чем-то еще.