Question

Разложить многочлен на множители x^4+x^2+1

Answer 1

x4-x3+x3+x3-x2+x2+x-x+1

x2*(x2-x+1)+x*(x2-x+1)+x2-x-1

(x2-x+1)*(x2+x+1)

Answer 2

Для разложения многочлена на множители x^4 + x^2 + 1 нам понадобится использовать комплексные числа, так как этот многочлен не разлагается на множители над полем вещественных чисел. При разложении многочлена на множители воспользуемся фактом, что в поле комплексных чисел каждый многочлен n-ой степени имеет ровно n комплексных корней (с учетом кратности).

Давайте найдем корни многочлена x^4 + x^2 + 1. Для этого решим уравнение:

x^4 + x^2 + 1 = 0

Сделаем замену переменной: t = x^2. Тогда уравнение примет вид:

t^2 + t + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = 1, c = 1. Подставим значения:

D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3

Так как дискриминант D отрицательный, уравнение не имеет вещественных корней. Но мы ищем комплексные корни. Разложим дискриминант на множители:

D = -3 = (-1)(3)

Теперь можем записать квадратное уравнение в форме суммы двух квадратов:

t^2 + t + 1 = (t - α)(t - β)

где α и β - корни дискриминанта. В данном случае:

α = (1 + √3i)/2 β = (1 - √3i)/2

Теперь можем выразить x через t:

t = x^2

Подставим значения корней:

t - α = x^2 - α t - β = x^2 - β

Теперь можем разложить исходный многочлен на множители:

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - α)(x^2 - β)

В итоге, многочлен x^4 + x^2 + 1 разлагается на множители следующим образом:

x^4 + x^2 + 1 = (x^2 - (1 + √3i)/2)(x^2 - (1 - √3i)/2)