Question

{x•(1 + x) 4dx;найдите неопределенный интеграл​ Смотреть ответ NNNLLL54 NNNLLL54

Answer 1

Для нахождения неопределенного интеграла $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx}$ мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям (integration by parts).

Метод интегрирования по частям гласит: $\int{u \, dv} = u \cdot v - \int{v \, du},$ где $u$ и $v$ - выбранные функции, а $du$ и $dv$ - их дифференциалы.

В данном случае, давайте выберем: $u = x \quad \Rightarrow \quad du = dx,$ $dv = (1+x)^4 \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int{(1+x)^4 \, dx}.$

Для нахождения $\int{(1+x)^4 \, dx}$ мы можем использовать степенной закон для интегрирования. Производная для функции $(1+x)^4$ равна $4(1+x)^3$, поэтому: $\int{(1+x)^4 \, dx} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(1+x)^5}{5} + C_1,$ где $C_1$ - постоянная интегрирования.

Возвращаясь к интегралу $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx}$ и применяя метод интегрирования по частям, получаем: $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx} = u \cdot v - \int{v \, du}.$

Подставим значения $u$, $v$, $du$ и $dv$ в формулу интегрирования по частям: $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx} = x \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{(1+x)^5}{5} + C_1\right) - \int{\left(\frac{1}{4} \cdot \frac{(1+x)^5}{5} + C_1\right) \, dx}.$

Раскроем скобки и упростим выражение: $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx} = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot (1+x)^5}{5} + C_1 \cdot x - \frac{1}{4} \cdot \frac{(1+x)^6}{30} - C_1 \cdot x + C_2,$ где $C_1$ и $C_2$ - постоянные интегрирования.

Таким образом, неопределенный интеграл $\int{x \cdot (1+x)^4 \, dx}$ равен: $\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot (1+x)^5}{5} - \frac{1}{4} \cdot \frac{(1+x)^6}{30} + C,$ где $C = C_1 - C_2$