Question

Доказать что при любых значения х а верно неравенство (3a-2)(a+2)<(1+2a)^2 с полным решением

Answer 1

$(3a-2)(a+2)$

Степенная функция с четным натуральным показателем всегда положительна или 0 => при любом значении а неравенство верно

Answer 2

Начнем с раскрытия скобок:

(3a-2)(a+2) = 3a^2 + 6a - 2a - 4 = 3a^2 + 4a - 4

(1+2a)^2 = (1+2a)(1+2a) = 1 + 2a + 2a + 4a^2 = 4a^2 + 4a + 1

Теперь заметим, что нам нужно доказать неравенство (3a^2 + 4a - 4) < (4a^2 + 4a + 1), то есть перенести все члены в левую часть и получить положительное выражение:

4a^2 - 3a^2 + 4a - 2a - 1 - 4 < 0

a^2 + 2a - 5 < 0

Найдем корни квадратного уравнения a^2 + 2a - 5 = 0:

D = 2^2 - 41(-5) = 24

a1 = (-2 + sqrt(24))/2 = 1.16228...

a2 = (-2 - sqrt(24))/2 = -3.16228...

Таким образом, неравенство (3a-2)(a+2) < (1+2a)^2 выполняется при всех значениях a, так как при a < -3.16228... или -3.16228... < a < 1.16228... левая часть отрицательна, а правая часть положительна, а при всех остальных значениях a левая часть больше правой.