Question

Вычислите определенный интеграл а) ∫(x dx)/(x^2-1)^3 вверху 4, внизу 0; б) ∫2sin x dx вверху Пи/2, внизу 0

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

а) Для вычисления этого интеграла мы можем воспользоваться методом частей. Для этого обозначим u = x и dv = (dx) / (x^2-1)^3, тогда du = dx и

v = ∫(dx) / (x^2-1)^3 = (-1/4) * (x / (x^2-1)^2) - (1/4) * ln|(x+1)/(x-1)| + C,

где С - произвольная постоянная интегрирования.

Используя формулу интегрирования по частям, получим:

∫(x dx)/(x^2-1)^3 = uv - ∫v du = x * [(-1/4) * (x / (x^2-1)^2) - (1/4) * ln|(x+1)/(x-1)|] + ∫[(-1/4) * (x / (x^2-1)^2) - (1/4) * ln|(x+1)/(x-1)|] dx

Теперь осталось только вычислить значение этого интеграла на отрезке [0, 4]. Подставим в формулу верхний и нижний пределы интегрирования:

∫(x dx)/(x^2-1)^3 = [4 * ((-1/4) * (4 / 15) - (1/4) * ln|5/3|)] - [0 * ((-1/4) * (0 / 1)^2 - (1/4) * ln|1|)] = [-4/15 - (1/4) * ln|5/3|]

Ответ: ∫(x dx)/(x^2-1)^3 = [-4/15 - (1/4) * ln|5/3|]

б) Для этого интеграла мы можем просто воспользоваться формулой интегрирования функции sin(x):

∫2sin x dx = -2cos x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь осталось только вычислить значение этого интеграла на отрезке [0, π/2]. Подставим в формулу верхний и нижний пределы интегрирования:

∫2sin x dx = [-2cos(π/2)] - [-2cos(0)] = [-2 * 0 - (-2 * 1)] = 2

Ответ: ∫2sin x dx = 2