Question

Образующая конуса составляет с его основанием угол 30°. Определите объем конуса, если площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 120°, равна 4 корня из 3 см2.

Answer 1

S(cечения)=(1/2)L·L·sin120 °

4√3=L2·√3/4

L2=16

L=4

H=L/2=2 ( катет против угла в 30 °)

R=L·√3/2=2√3

V=π·R2·H=π·(2√3)2·2=24π – о т в е т.

Answer 2

Обозначим радиус основания конуса через $r$, а длину образующей через $l$. Тогда, по определению, угол между образующей и основанием конуса равен $30^\circ$, а угол между двумя образующими, проходящими через основание, равен $120^\circ$.

Площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен $120^\circ$, равна $4\sqrt{3},\text{см}^2$. Это значит, что высота конуса равна $2\sqrt{3},\text{см}$ (высота - это расстояние между плоскостью сечения и вершиной конуса).

Также из геометрических соображений можно выразить длину образующей $l$ через радиус основания $r$ и высоту $h$ конуса: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.

Теперь можем выразить объем конуса через радиус основания $r$ и высоту $h$:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Заменяя высоту $h$ и выражая $r$ через $h$ из условия про площадь сечения, получим:

$\frac{1}{2}r^2\sin120^\circ = 2\sqrt{3},\text{см}^2 \Rightarrow r = 2,\text{см}$

$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{4 + 12} = 2\sqrt{3},\text{см}$

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2,\text{см})^2 \cdot 2\sqrt{3},\text{см} = \frac{8}{3}\pi\sqrt{3},\text{см}^3$

Ответ: $V = \frac{8}{3}\pi\sqrt{3},\text{см}^3$.