Question

Помогите пожалуйста!!) Дана функция f(x)= -x^2-8x-12 всё это под корнем. Найти: а) область определения функции б)промежутки возрастания и убывания функции в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-5; -2]

Answer 1

$f(x)=\sqrt{-x^2-8x-12}$

a)ООФ:
-x²-8x-12≥0
x²+8x+12≤0
Найдём нули функции:
x1=-6; x2=-2
(вложение)
x∈[-6;-2]


б)
$f'(x)=(\sqrt{-x^2-8x-12})'=\frac{(-x^2-8x-12)'}{2\sqrt{-x^2-8x-12}}=\frac{-2x-8}{2\sqrt{-x^2-8x-12}} =\\=\frac{-x-4}{\sqrt{-x^2-8x-12}}$
Найдём нули функции:
-x-4=0
x=-4
-x²-8x-12=0
x1=-6; x2=-2
(вложение)
Возрастает на промежутке: (-6;-4]
Убывает на промежутке: [-4;-2)


в)
Найдём значения функции на концах отрезка, и в точке x=-4
$f(-4)=-(-4)^2-8*(-4)-12=-16+32-12=\boxed{4=f_{max}(x)}\\f(-5)=-(-5)^2-8*(-5)-12=40-25-12=3\\f(-2)=\boxed{0=f_{min}(x)}$

Answer 2

Для начала, заметим, что под корнем должно быть неотрицательное выражение, поэтому:

-x^2-8x-12 >= 0

Выражение под корнем может быть решено с помощью квадратного уравнения:

-x^2-8x-12 = 0

x^2+8x+12 = 0

(x+2)(x+6) = 0

x = -2, -6

Таким образом, область определения функции f(x) составляет отрезок (-бесконечность; -6] объединенный с [-2; +бесконечность).

a) Область определения функции: (-бесконечность; -6] объединенный с [-2; +бесконечность)

b) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. Для этого найдем производную функции:

f'(x) = -2x-8

Чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю, решим уравнение:

-2x-8 = 0

x = -4

Таким образом, производная функции равна нулю в точке x = -4.

Теперь можно построить таблицу знаков производной и определить промежутки возрастания и убывания функции:

x | -беск | -6 | -4 | -2 | +беск f'(x) | - | - | 0 | + | +

Таким образом, функция f(x) убывает на промежутке (-бесконечность; -4] и возрастает на промежутке [-4; -2] и на промежутке [-2; +бесконечность).

c) Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-5; -2], нужно найти значения функции в точках -5, -2 и выяснить, какое из них максимальное, а какое минимальное.

f(-5) = -sqrt((-5)^2 - 8(-5) - 12) = -7

f(-2) = -sqrt((-2)^2 - 8(-2) - 12) = -6

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-5; -2] равно -6, а наименьшее значение равно -7.