Question

Помогите с алгеброй - это минус Докажите, что 83 в кубе - 38 в кубе делится на 15

Answer 1

Чтобы решить наш пример, нужно знать формулы сокращенного умножения:
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Решим наш пример:
$83^3-38^3=(83-38)....=45*(...)$

Делится, т.к. один из множителей равен 45, а он делится на 15.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что $83^3 - 38^3$ делится на 15, нужно показать, что это выражение кратно 15, то есть что оно делится на 3 и на 5.

Начнем с доказательства того, что $83^3 - 38^3$ кратно 3. Заметим, что любое число можно представить в виде суммы своих цифр по модулю 3. Действительно, пусть $n$ - число, тогда $n = a_k 10^k + a_{k-1} 10^{k-1} + \ldots + a_0$, где $a_i$ - цифры числа $n$. Заметим, что $10 \equiv 1 \pmod 3$, поэтому $10^k \equiv 1 \pmod 3$ для любого натурального $k$. Тогда $n \equiv a_k + a_{k-1} + \ldots + a_0 \pmod 3$. Таким образом, чтобы показать, что $83^3 - 38^3$ кратно 3, достаточно проверить, что сумма цифр $83^3$ и $38^3$ сравнима по модулю 3.

Вычислим эти числа:

$83^3 = 571787$

$38^3 = 54872$

Сумма цифр $571787$ равна $5 + 7 + 1 + 7 + 8 + 7 = 35$, а сумма цифр $54872$ равна $5 + 4 + 8 + 7 + 2 = 26$. Обе суммы сравнимы с нулем по модулю 3, поэтому разность $83^3 - 38^3$ кратна 3.

Теперь докажем, что $83^3 - 38^3$ кратно 5. Заметим, что любое число, оканчивающееся на 5, делится на 5. Поэтому достаточно показать, что $83^3$ и $38^3$ оканчиваются на одну и ту же цифру. Вычислим последнюю цифру этих чисел:

$83^3 = 571787$

$38^3 = 54872$

Последняя цифра $571787$ - это 7, а последняя цифра $54872$ - это 2. Очевидно, что они не совпадают. Однако заметим, что при вычислении последней цифры степени числа мы можем ограничиться только последней цифрой самого числа. Таким образом, для вычисления последней цифры $83^3$ и $38^3$ достаточно знать последнюю цифру чисел 83 и 38. Очевидно, что эти