Question

Sin^2(x)+sin^2(2x)=cos^2(3)x+cos^2(4x) Прошу, помогите: мне сказали, что я неправильно решила

Answer 1

$sin^2x+sin^22x=cos^23x+cos^24x \\ \\ \frac{1-cos2x}{2}+ \frac{1-cos(2*2x)}{2}= \frac{1+cos(2*3x)}{2}+ \frac{1+cos(2*4x)}{2} \\ \\ 1-cos2x+1-cos4x=1+cos6x+1+cos8x \\ -cos2x-cos4x-cos6x-cos8x=2-2 \\ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0 \\ (cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0 \\ 2cos \frac{2x+8x}{2}cos \frac{2x-8x}{2}+2cos \frac{4x+6x}{2}cos \frac{4x-6x}{2}=0 \\ \\ 2cos5xcos(-3x)+2cos5xcos(-x)=0 \\ 2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0 \\ 2cos5x(cos3x+cosx)=0$

1)
$2cos5x=0 \\ cos5x=0 \\ 5x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k \\ \\ x= \frac{ \pi }{10}+ \frac{ \pi }{5}k,$ k∈Z;

2)
$cos3x+cosx=0 \\ 2cos \frac{3x+x}{2}cos \frac{3x-x}{2}=0 \\ \\ 2cos2xcosx=0 \\ cos2xcosx=0$
a)
$cos2x=0 \\ 2x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k \\ \\ x= \frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{2}k,$ k∈Z;
b)
$cosx=0 \\ x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k,$ k∈Z.

Ответ:    $\frac{ \pi }{10}+ \frac{ \pi }{5}k,$ k∈Z;
               $\frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi }{2}k,$  k∈Z;
               $\frac{ \pi }{2}+ \pi k,$  k∈Z.

Answer 2

Давайте сначала проверим, является ли уравнение верным для всех значений x. Для этого мы можем просто подставить некоторые значения x и проверить, соблюдается ли равенство. Давайте попробуем x = 0:

sin^2(0) + sin^2(0) = cos^2(0) + cos^2(0)

0 + 0 = 1 + 1

0 ≠ 2

Как видите, равенство не выполняется. Поэтому, действительно, решение неверно.

Чтобы решить это уравнение правильно, можно использовать формулы тригонометрии. Например, мы можем заменить sin(2x) на 2sin(x)cos(x), а cos(3x) на cos(2x + x), а затем использовать формулы сокращения:

sin^2(x) + 4sin^2(x)cos^2(x) = cos^2(2x)cos^2(x) + (1 - sin^2(2x))cos^2(2x)

Теперь мы можем объединить несколько слагаемых и преобразовать выражение:

4sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x) = cos^2(2x)(1 - sin^2(2x) + cos^2(x))

4sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x) = cos^2(2x)cos^2(x) + cos^2(2x) - sin^2(2x)cos^2(2x)

Используя формулы сокращения еще раз, мы можем упростить это выражение:

sin^2(x) + 4sin^2(x)cos^2(x) = 4cos^4(x) - 4sin^2(x)cos^2(x) + 2cos^2(x) - 2sin^2(x)cos^2(x)

Теперь мы можем объединить несколько слагаемых и привести подобные:

5sin^2(x)cos^2(x) + sin^2(x) = 4cos^4(x) + 2cos^2(x) - 3sin^2(x)cos^2(x)

sin^2(x) + 5sin^2(x)cos^2(x) = 4cos^4(x) + 2cos^2(x) - 3sin^2(x)cos^2(x)

Мы получили уравнение, которое можно решить, например, используя квадратичную подстановку. Пусть z = sin(x)cos(x):

sin^2(x) + 5z^2 = 4(1 - z^2)^2 + 2(1 - 2z^2) - 3z^2

sin^2(x) + 5z^2 = 4 - 8z^2 + 8z^4 + 2 - 4z^2 - 3z^2

8z^4 - 16z^2 + 1 =