Question

Настя с 7 по 11 класс участвовала в 31 олимпиаде. В каждом следующем учебном году она участвовала в бОльшем количестве олимпиад, чем в предыдущем, а в 11 классе количество олимпиад, в которых она приняла участие, возросло в 3 раза по сравнению с 7 классом. В каком количестве олимпиад Настя приняла участие в 10 классе?

Answer 1

Пусть x - количество олимпиад в 7-м классе

3x - количество олимпиад в 11-м классе

Определим допустимое значение x

x /= 1, поскольку в таком случае между x и 3x недостаточно чисел

x /= 2, поскольку при наибольшем раскладе остальных терминов общая сумма < 31 (2+6+3+4+5=20), т.е. в любом случае не можем набрать 31

x /= 4, поскольку при наименьшем раскладе остальных терминов общая сумма > 31, т.е. в любом случае набираем больше, чем 31: 4+16+5+6+7

x /= 5, поскольку при наименьшем раскладе остальных терминов общая сумма > 31, т.е. в любом случае набираем больше, чем 31: 5+25+6+7+8

Таким образом, Настя в 7-м классе могла участвовать только в 3-х олимпиадах, а в 11-м — в 9.

Количество олимпиад в 10 классе (назовем его y) больше 5, но меньше 9 в связи с возрастающим кол-вом олимпиад в каждом последующем классе: 5<y<9.

y /= 6, поскольку в данном случае единственная возможная сумма не равняется 31: 3+4+5+6+9=27

Остаются два варианта. y=7 также легко рассмотреть перебором:

1. 3+4+5+7+9=28

2. 3+4+6+7+9=29

3. 3+5+6+7+9=30

Таким образом, y=8

Answer 2

Для решения этой задачи, можно воспользоваться формулой арифметической прогрессии:

Sn = n/2 * (a1 + an),

где Sn - сумма первых n членов арифметической прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - последний член прогрессии.

Обозначим количество олимпиад, в которых Настя принимала участие в 7, 8, 9, 10 и 11 классах через a1, a2, a3, a4 и a5 соответственно. Тогда из условия задачи мы знаем, что:

a2 > a1 a3 > a2 a4 > a3 a5 = 3*a1

Также мы знаем, что в сумме за все годы Настя участвовала в 31 олимпиаде:

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 31

Заменим a5 на 3*a1 и сгруппируем члены:

a1 + a2 + a3 + a4 + 3a1 = 4a1 + (a2 + a3 + a4) = 31

Так как a2 > a1, a3 > a2 и a4 > a3, то:

a2 + a3 + a4 > 3*a1

Следовательно:

4a1 + (a2 + a3 + a4) > 4a1 + 3a1 = 7a1

Так как 4*a1 + (a2 + a3 + a4) = 31, то:

7*a1 > 31

a1 > 4.43

Так как a1 - целое число, то a1 >= 5.

Используя условие задачи, что количество олимпиад, в которых Настя приняла участие, увеличивается каждый год, можем заключить, что a2 >= a1 + 1, a3 >= a2 + 1, a4 >= a3 + 1.

Тогда:

a1 + (a1 + 1) + (a1 + 2) + (a1 + 3) + 3*a1 <= 31

8*a1 <= 25

a1 <= 3.125

Так как a1 - целое число, то a1 <= 3.

Значит, единственной возможной величиной a1 является 5. Тогда:

a1 + a2 + a3 + a4 + 3*a1 = 5 + 6 + 7 + 8 + 15 = 41

Значит, в 10 классе Настя приняла участие в 8 олимпиадах.