Question

в ящике лежат белые и чёрные шары.Известно что выбрать один белый и один чёрный можно 120 способами ,а 2 белых и 2 чёрных 2917.Сколько в ящике белых и чёрных шаров?

Answer 1

Пусть белых шаров a, черных шаров b. Тогда один белый и один черный шар можно выбрать
$C^1_a*C^1_b=\frac{a!}{(a-1)!*1!}*\frac{b!}{(b-1)!1}=ab=120$
два белых и два черных можна выбрать
$C^2_a*C^2b=\frac{a!}{(a-2)!*2!}*\frac{b!}{(b-2)!*2!}=$
$\frac{(a-1)a(b-1)b}{4}=2917$

$ab=120$
$(a-1)(b-1)*120:4=2917$

$ab=120$
$(a-1)*(b-1)=2917:30$
$ab-(a+b)+1=2917:30$
$a+b=121-2917:30$ - не натуральное число, что невозможно

вообще 2917 число простое а по форме задачи в целом такого быть не должно

вывод - условие задачи содержит ошибку!

Answer 2

Пусть в ящике находится $w$ белых и $b$ чёрных шаров. Тогда, чтобы выбрать один белый и один чёрный шар, можно сделать $w\cdot b$ способами. А чтобы выбрать два белых и два чёрных шара, можно сделать $C_w^2 \cdot C_b^2 = \frac{w(w-1)}{2} \cdot \frac{b(b-1)}{2}$ способами.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

$w \cdot b = 120$

$\frac{w(w-1)}{2} \cdot \frac{b(b-1)}{2} = 2917$

Мы можем решить первое уравнение относительно $w$ и подставить его во второе уравнение:

$w = \frac{120}{b}$

$\frac{(\frac{120}{b})(\frac{120}{b}-1)}{2} \cdot \frac{b(b-1)}{2} = 2917$

$\frac{120(120- b)}{4b} \cdot \frac{b(b-1)}{2} = 2917$

$\frac{120(120- b)(b-1)}{8} = 2917$

$15(120-b)(b-1) = 2917$

$1800 - 135b + 15b^2 - 15b + 2917 = 0$

$15b^2 - 150b + 4917 = 0$

$b^2 - 10b + 328.5 = 0$

Решая это уравнение квадратным способом, мы получаем:

$b = 5 \pm \frac{11}{\sqrt{2}} \approx 11.27 \text{ или } -1.27$

Поскольку $b$ должно быть неотрицательным, мы можем отбросить отрицательное решение и получаем $b \approx 11.27$. Теперь мы можем использовать первое уравнение для того, чтобы вычислить $w$:

$w = \frac{120}{b} \approx 10.65$

Так как $w$ и $b$ должны быть целыми числами, мы можем округлить $w$ и $b$ до ближайших целых чисел:

$w = 11 \text{ и } b = 11$

Итак, в ящике должно быть 11 белых и 11 чёрных шаров.