Question

Докажите, что при любых значениях a и b верно неравенство 4ab-1< 4a^2+ b^2

Answer 1

4ab-1< 4a^2+ b^2
-1< 4a^2+ b^2-4ab
-1< (2a-b)^2 - при любых а и b

Answer 2

$4ab-1$
$4ab-1-4 a^{2} - b^{2}$
$-(4 a^{2}-4ab+ b^{2})-1$
$- (2a-b)^{2} -1$
$(2a-b)^{2} +1>0$
скобка  $(2a-b)^{2}$ всегда неотрицательна, т.к. степень вторая.
1>0 априори.
А сума неотрицательных слагаемых - число неотрицательное, значит, при любых a и b это неравенство верно.

Answer 3

Для любых значений a и b мы можем переписать левую часть неравенства как 4ab - 1 и правую часть как 4a^2 + b^2. Мы хотим доказать, что левая часть меньше правой, т.е.

4ab - 1 < 4a^2 + b^2

Перенесем 4ab на правую сторону и -1 на левую сторону:

b^2 - 4ab + 1 > 0

Теперь рассмотрим левую часть данного неравенства как квадратное уравнение относительно b. Заметим, что дискриминант этого уравнения равен

D = (-4a)^2 - 41(-1) = 16a^2 + 4 = 4(4a^2 + 1)

Так как D является суммой положительного числа (4a^2 + 1) и положительного числа (4), то D всегда больше нуля, т.е. D > 0. Это означает, что квадратное уравнение имеет два корня, и они оба либо положительны, либо отрицательны.

Если бы оба корня были отрицательными, то было бы b^2 - 4ab + 1 < 0, что противоречит неравенству выше.

Значит, оба корня положительны, и мы можем записать

b^2 - 4ab + 1 = (b - 2a)^2 - 4a^2 + 1 = (b - 2a)^2 + (1 - 4a^2) > 0

Здесь мы использовали формулу (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.

Таким образом, мы доказали, что неравенство 4ab - 1 < 4a^2 + b^2 верно для любых значений a и b.