Question

Решение простейших тригонометрических уравнений. 1) (cos^2)2x-sin2x*cos2x+1=0 2) cos4xcosx-sin4xsinx=-1/2

Answer 1

(1)
cos²(2x) - sin(2x)*cos(2x)+(sin²(2x)+cos²(2x))=0    |:cos²(2x)≠0
1-tg(2x)+tg²(2x)+1=0
tg²(2x)-tg(2x)+2=0

tg(2x)=t
t²-t+2=0
D=1-8=-7<0
Т.к. D<0 уравнение не имеет корней.
Ответ: Нет решений.




(2)
cos(4x)cos(x)-sin*(4x)sin(x)=-1/2
cos(4x+x)=-1/2
cos(5x)=-1/2
x=+-arccos(-1/2)+2πn,n∈Z
x=+-(π-arccos(1/2))+2πn,n∈Z
x=+-2π/3 +2πn, n∈Z

Answer 2

1. Давайте решим это уравнение, используя замену переменной. Пусть t = cos(2x). Тогда мы можем записать уравнение как:

t^2 - t^3 + 1 = 0

Мы можем решить это уравнение, используя метод Раца-Гурвица или графически. Однако, мы можем заметить, что t = 1 является корнем уравнения, и это даёт нам один из корней уравнения:

t = 1 => cos(2x) = 1 => 2x = 2kπ, где k - целое число.

Теперь рассмотрим второй корень. Домножим уравнение на (t + 1) и приведем к квадратному виду:

t^3 - t^2 + t + 1 = (t^2 + 1)(t - 1) + t + 1 = 0

Мы видим, что t = -1 является корнем уравнения, и это даёт нам еще один корень:

t = -1 => cos(2x) = -1 => 2x = (2k + 1)π, где k - целое число.

Таким образом, мы получаем два набора решений:

2x = 2kπ или 2x = (2k + 1)π.

Решением исходного уравнения будет любое значение x, удовлетворяющее одному из этих наборов решений.

2. Раскроем произведение по формуле cos(a - b):

cos(4x - x) = cos(3x) = -1/2

Таким образом, мы имеем:

3x = 2kπ ± π/3

Отсюда следует:

x = (2kπ ± π/3)/3, где k - целое число.

Это даёт нам шесть решений в интервале [0, 2π]:

x = π/9, 7π/9, 5π/6, 11π/6, 13π/9, 17π/9.