Question

При каких значениях b и c парабола y=x^2+bx+c касается с прямой y=4x+1 в точке с абсциссой x0=1

Answer 1

Y =x^2 + b x + c;
 y = 4x + 1;
k = 4 ;
y '(x0) = k = 4;
y '(x) = 2x + b;
y'(1) = 2*1 + b = 4;
2 + b = 4; b = -2;

x^2 + bx + c = 4x + 1;
x =1; b = -2; ⇒
 1+ 2*(-2)*1 + c = 4*1 + 1;
1 - 4 + c = 5;
c - 3 = 5;
 c = 8.
Ответ: b = -4; c = 5

Answer 2

Если парабола $y=x^2+bx+c$ касается прямой $y=4x+1$ в точке с абсциссой $x_0=1$, то эти две функции должны иметь одинаковую координату $y$ в точке $x_0=1$ и одинаковый наклон в этой точке.

Наклон прямой $y=4x+1$ равен $4$ в любой точке, а наклон параболы $y=x^2+bx+c$ равен $2x+b$ в каждой точке. Значит, для того чтобы наклон параболы был равен $4$ в точке $x_0=1$, должно выполняться условие $2x_0+b=4$, то есть $2\cdot 1+b=4$, откуда получаем $b=2$.

Чтобы парабола касалась прямой в точке $x_0=1$, координата $y$ должна быть одинаковой у этих функций в этой точке. Значит, $1^2+2\cdot 1 + c = 4\cdot 1+1$, откуда получаем $c=2$.

Таким образом, парабола $y=x^2+2x+2$ касается прямой $y=4x+1$ в точке с абсциссой $x_0=1$.