Question

(log₃4+log₂9)²-(log₃4-log₂9)² найти значение выражения

Answer 1

$( log_{3}4 + log_{2}9 ) ^{2} - {(log_{3}4 - log_{2}9 )}^{2} = (log_{3}4 + log_{2}9 - log_{3}4 + log_{2}9) \times (log_{3}4 + log_{2}9 + log_{3}4 - log_{2}9 ) = 2 log_{2}(9) \times 2 log_{3}(4) = 2 log_{2}( {3}^{2} ) \times 2 log_{3}( {2}^{2} ) = 4 log_{2}(3) \times 4 log_{3}(2) = 4 \times 4 = 16$

Answer 2

Формула разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b). 
В нашем случае: (log₃4+log₂9)²-(log₃4-log₂9)² = ((log₃4 + log₂9) - (log₃4-log₂9))((log₃4+log₂9) + (log₃4-log₂9)) = (log₃4 + log₂9 - log₃4 + log₂9)(log₃4 + log₂9 + log₃4 - log₂9) = 2log₂9 * 2log₃4. 
По свойству логарифма: logₐb * logₓc = logₓb * logₐc, xlogₐb = logₐbˣ. 
log₂81 * log₃16 = log₃81 * log₂16 = 4 * 4 = 16. 

Ответ: 16. 

Answer 3

Давайте раскроем скобки в данном выражении и преобразуем логарифмы, используя следующие свойства:

• logₐb² = 2logₐb (логарифм квадрата числа)
• logₐb+logₐc = logₐ(bc) (логарифм произведения чисел)
• logₐb-logₐc = logₐ(b/c) (логарифм частного чисел)

Таким образом, имеем:

(log₃4+log₂9)²-(log₃4-log₂9)² = ((log₃4) + 2(log₂3))² - ((log₃4) - (log₂3²))² = (log₃4)² + 4(log₃4)(log₂3) + 4(log₂3)² - (log₃4)² - 2(log₃4)(log₂3²) + (log₂3²)² = 4(log₃4)(log₂3) + 4(log₂3)² - 2(log₃4)(log₂3²) + (log₂3²)²

Теперь заметим, что log₃4 = log₃(2²) = 2log₃2, а log₂3 = log₂(3), поэтому можем преобразовать выражение дальше:

4(log₃4)(log₂3) + 4(log₂3)² - 2(log₃4)(log₂3²) + (log₂3²)² = 4(2log₃2)(log₂3) + 4(log₂3)² - 2(2log₃2)(log₂3) + (log₂3)⁴ = 8log₃2(log₂3) + 4(log₂3)² - 4log₃2(log₂3) + (log₂3)⁴ = 4(log₂3)² - 4log₃2(log₂3) + (log₂3)⁴ + 8log₃2(log₂3) = (log₂3)⁴ + 4log₃2(log₂3) + 4(log₃2)²

Таким образом, значение данного выражения равно (log₂3)⁴ + 4log₃2(log₂3) + 4(log₃2)², что можно приблизительно вычислить равным 9,954.