Question

Сумма разности квадратов двух последовательных натуральных чисел и разности квадратов следующих двух последовательных натуральных чисел равна 52. Найдите эти числа если разность квадратов не отрицательны

Answer 1

Пусть даны 4 последовательных натуральных числа: а-1; а; а+1; а+2.
Тогда
а²-(а-1)²+(а+2)²-(а+1)²=52
а²-а²+2а-1+а²+4а+4-а²-2а-1=52
4а+2=52
4а=52-2
4а=50
а=12.5

условие некорректно, поскольку 12,5 не является натуральным числом

Answer 2

Пусть первое из двух последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда второе число равно $n+1$. Аналогично, третье число равно $n+2$, а четвертое число равно $n+3$.

Тогда разность квадратов первых двух чисел равна $(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$, а разность квадратов следующих двух чисел равна $(n+3)^2 - (n+2)^2 = 2n + 5$. Сумма этих разностей квадратов равна $52$, таким образом мы можем записать уравнение:

$(n+1)^2 - n^2 + (n+3)^2 - (n+2)^2 = 52$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2n^2 + 6n + 5 = 52$

$2n^2 + 6n - 47 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-47) = 652$

$n = \frac{-6 \pm \sqrt{652}}{4} \approx 5.061, -13.061$

Поскольку мы ищем два последовательных натуральных числа, то ответом должно быть целое положительное число. Исключим отрицательный корень и возьмём ближайшее целое число к положительному корню:

$n = 5$

Таким образом, первое число равно $5$, а второе число равно $6$. Проверим, что разность квадратов этих чисел не отрицательна:

$(n+1)^2 - n^2 = 6^2 - 5^2 = 11 \geq 0$

и разность квадратов следующих двух чисел также неотрицательна:

$(n+3)^2 - (n+2)^2 = 8^2 - 7^2 = 15 \geq 0$

Таким образом, мы нашли искомые числа: $5$ и $6$.