Question

Решите уравнение cos2x-cos6x=0

Answer 1

cos(2x) - cos(6x) = 0  |·(-1)

cos(6x) - cos(2x) = 0

Воспользуемся формулой разности косинусов: $\displaystyle {\tt cos}\, x-{\tt cos}\, y = -2\cdot {\tt sin}\, \bigg( \frac{x+y}2 \bigg) \cdot {\tt sin}\, \bigg( \frac{x-y}2 \bigg)$

$\displaystyle -2\cdot {\tt sin}\, \bigg( \frac{6x+2x}2 \bigg) \cdot {\tt sin}\, \bigg( \frac{6x-2x}2 \bigg)=0\quad \bigg|:(-2)\\ \\ {\tt sin}\, (4x)\cdot {\tt sin}\, 2x=0\\ \\ \begin{bmatrix}{\tt sin}\, 4x=0\\ {\tt sin}\, 2x=0\end{matrix}$

Решим простейшие тригонометрические уравнения.

$\begin{bmatrix}\displaystyle 4x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z}\\ \\ \displaystyle 2x=\pi k,\; k\in \mathbb{Z}\end{matrix} \quad \begin{bmatrix}\displaystyle x=\frac{\pi n}4,\; n\in \mathbb{Z}\\ \\ \displaystyle x=\frac{\pi k}2,\; k\in \mathbb{Z}\end{matrix}$

Второе множество значений x является подмножеством первого, поэтому запишем в ответе только первое множество.

Ответ: $\displaystyle x=\frac{\pi n}4,\; n\in \mathbb{Z}$

Answer 2

Начнем с использования тригонометрической идентичности для косинуса двойного угла:

cos 2x = 2 cos^2 x - 1

Затем мы можем использовать эту идентичность для переписывания исходного уравнения:

2 cos^2 x - 1 - cos 6x = 0

Далее мы можем использовать другую тригонометрическую идентичность, чтобы переписать косинус 6x в терминах косинуса 2x:

cos 6x = 2 cos^2 3x - 1

Теперь мы можем заменить косинус 6x в исходном уравнении и сгруппировать подобные члены:

2 cos^2 x - 1 - (2 cos^2 3x - 1) = 0

2 cos^2 x - 2 cos^2 3x = 0

2 cos^2 x (1 - cos^2 2x) - 2 cos^2 3x = 0

2 cos^2 x sin^2 2x - 2 cos^2 3x = 0

2 cos^2 x (1 - cos^2 x) - 2 (4 cos^3 x - 3 cos x) = 0

2 cos^4 x - 8 cos^3 x + 6 cos^2 x - 2 = 0

Мы можем разделить обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение:

cos^4 x - 4 cos^3 x + 3 cos^2 x - 1 = 0

Мы можем заметить, что это уравнение является квадратным в терминах cos x, поэтому мы можем ввести замену y = cos x и решить его:

y^4 - 4y^3 + 3y^2 - 1 = 0

(y^2 - 2y - 1)(y^2 - 2y + 1) = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения в терминах cos x:

cos x = 1 + √2 или cos x = 1 - √2

Теперь мы можем решить каждое уравнение для x:

cos x = 1 + √2

x = ±arccos(1 + √2) + 2πn, n ∈ ℤ

cos x = 1 - √2

x = ±arccos(1 - √2) + 2πn, n ∈ ℤ

Ответ: решения исходного уравнения это x = ±arccos(1 + √2) + 2πn и x = ±arccos(1 - √2) + 2πn, где n ∈ ℤ.