Question

Y''+4xy'+(2+4x^2)y=0 дифф урав помогите решать?

Answer 1

Если дифференциальное уравнение представлено в форме

$y''+f(x)y'+y(x)g(x)=F(x)$, то для него используется замена

$y=\displaystyle \exp\left\{\int\frac{f(x)}{2}dx\right\}v(x)$, которая устранит термин первого порядка.

Это замена формы $y(x)=\mu (x)v(x)$

Положим $\mu (x)=\exp\left\{\displaystyle \int -2xdx\right\}=e^{-x^2}$ и подставив замену $y=e^{-x^2}v(x)$, получим

$e^{-x^2}v''-4e^{-x^2}\cdot xv'+4x\left(e^{-x^2}v'-2e^{-x^2}xv\right)+\\ \\ +\left(-2e^{-x^2}+4e^{-x^2}x^2\right)v+2e^{-x^2}(2x^2+1)v=0\\ \\ \\ e^{-x^2}\cdot v''+\left(-2e^{-x^2}-4e^{-x^2}\cdot x^2+2e^{-x^2}(2x^2+1)\right)v=0\\ \\ \\ e^{-x^2}\cdot v''=0\\ \\ \\ v''=0\\ \\ v'=C_1\\ \\ v=\displaystyle \int C_1dx=C_1x+C_2$

Возвращаемся к обратной замене

$y=e^{-x^2}\Big(C_1x+C_2\Big)$ — общее решение диф. уравнения

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно воспользоваться методом Френеля. Для этого сначала найдем общее решение однородного уравнения:

Y'' + 4xy' + (2 + 4x^2)y = 0

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения имеет вид:

m^2 + 4xm + (2 + 4x^2) = 0

Его корни:

m1 = -2x + √(1 - 4x^2) m2 = -2x - √(1 - 4x^2)

Если 1 - 4x^2 > 0, то корни могут быть действительными и различными. В этом случае общее решение имеет вид:

y(x) = c1 * exp(-x^2) * He(m1(x)) + c2 * exp(-x^2) * He(m2(x)),

где He(x) - это функция Эрмита.

Если 1 - 4x^2 = 0, то корни являются комплексно-сопряженными и имеют вид:

m1 = m2* = -2x

В этом случае общее решение имеет вид:

y(x) = c1 * exp(-x^2/2) * H0(x) + c2 * exp(-x^2/2) * H1(x),

где Hn(x) - это функция Эрмита.

Таким образом, чтобы найти решение исходного уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравнения с правой частью равной нулю. Для этого можно воспользоваться методом вариации постоянной. Предположим, что решение имеет вид:

y(x) = u(x) * v(x),

где u(x) и v(x) - некоторые функции, которые нужно найти. Тогда производные y'(x) и y''(x) будут иметь вид:

y'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x), y''(x) = u''(x)v(x) + 2u'(x)v'(x) + u(x)v''(x).

Подставляем эти выражения в исходное уравнение:

u''v + 2u'v' + uv'' + 4x(u'v + uv') + (2 + 4x^2)uv = 0.

Выносим v(x) за скобку:

v(x)(u'' + 2u' + (2 + 4x^2)u) + 2v'(x)(u' + xu) = 0.

Так как v(x) не равна нулю, можно сократить на нее и получить линейное уравнение второго порядка для функции u(x):

u'' + 2u' + (2 + 4x^2