Question

Как решать такое неравенство с логарифмом? Помогите, пожалуйста. log2 (4^x + 81^x - 4*9^x + 3) > 2x

Answer 1

$log_{2} (4^{x}+ 81^{x} -4* 9^{x} +3 )\ \textgreater \ log_{2} 2^{2x}$
$2^{2x}+ 81^{x} -4* 9^{x} +3 \ \textgreater \ 2^{2x}$
$2^{2x}+ 81^{x} -4* 9^{x} +3 - 2^{2x} \ \textgreater \ 0$
$81^{x} -4* 9^{x} +3 \ \textgreater \ 0$
$9^{2x} -4* 9^{x} +3 \ \textgreater \ 0$
замена  $9^{x} =t$
$t^{2} -4t+3\ \textgreater \ 0$
D=16-12=4
t1=3
t2=1
 решаем  методом интервалов
( - ∞; 1) (3; + ∞)
t<1
t>3
 вернулись к замене
и получили ответ
x<0
x>1/2
Ответ: ( - ∞; 0) (1/2; + ∞)

Answer 2

Для решения этого неравенства сначала необходимо преобразовать его, используя свойства логарифмов. Мы можем начать с применения свойства логарифма, согласно которому:

log_a (b + c) = log_a b + log_a c

Применяя это свойство к логарифму в левой части неравенства, мы можем записать:

log2 (4^x + 81^x - 4*9^x + 3) = log2 [(4^x - 9^x)^2 + 3] = log2 (4^x - 9^x)^2 + log2 3

Затем мы можем заменить логарифм в неравенстве на его эквивалентное выражение и получить:

log2 (4^x - 9^x)^2 + log2 3 > 2x

Теперь мы можем применить свойство логарифма, согласно которому:

log_a b > c => b > a^c

Применив это свойство, мы получаем:

(4^x - 9^x)^2 * 3 > 2^(2x)

Раскрывая квадрат в левой части, получаем:

16^x - 2 * 4^x * 9^x + 81^x * 3 > 2^(2x)

Далее мы можем заменить 16^x на (2^4)^x и 81^x на (3^4)^x, чтобы получить:

(2^4)^x - 2 * 4^x * (3^4)^x + (3^4)^x * 3 > 2^(2x)

Теперь мы можем использовать замену переменной u = (2^x), чтобы привести это неравенство к квадратному виду:

u^2 - 2 * (3^4)^u + (3^4)^2 > 0

Это квадратное неравенство можно решить с помощью стандартных методов. Например, мы можем использовать дискриминант, чтобы найти интервалы значений переменной u, для которых неравенство выполняется:

D = 4 * (3^4)^2 - 4 * (3^4)^2 = 0

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень:

u = (2 * (3^4)) / 2 = 162

Мы можем проверить, что при u < 162 или u > 162 неравенство не выполняется, а при u = 162 оно выполняется.

Таким образом, решением исходного неравенства является:

2^x = 162

x = log2 162