Question

Cos 3x>(корень из 3) sin 3x (тригонометрическое неравенство) заранее благодарю вас

Answer 1

Cos3x>√3sin3x
cos3x-√3sin3x>0|:cos3x≠0
1-√3tg3x>0
√3tg3x<1|:√3
tg3x<1/√3
tg3x<√3/3
-π/2+πn<3x<π/6+πn, n∈Z|:3
-π/6+πn/3<x<π/18+πn/3, n∈Z
x∈(-π/6+πn/3; π/18+πn/3), n∈Z

Answer 2

Решим данное тригонометрическое неравенство.

Заметим, что корень из 3 в правой части является положительным числом, следовательно, мы можем без ограничения общности разделить обе части неравенства на корень из 3:

$\frac{\cos 3x}{\sqrt{3}} > \sin 3x$

Теперь выразим $\cos 3x$ и $\sin 3x$ через $\cos x$ и $\sin x$, используя тригонометрические формулы:

$\frac{\cos 3x}{\sqrt{3}} = \frac{4\cos^3 x - 3\cos x}{\sqrt{3}}$

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

Подставим выражения в исходное неравенство:

$\frac{4\cos^3 x - 3\cos x}{\sqrt{3}} > 3\sin x - 4\sin^3 x$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$4\cos^3 x - 3\cos x - 3\sqrt{3}\sin x + 4\sqrt{3}\sin^3 x > 0$

Теперь воспользуемся формулами сложения для синуса и косинуса:

$\cos 3x = \cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x$

$\sin 3x = 3\sin x\cos^2 x - \sin^3 x$

Подставим их в левую часть неравенства:

$\begin{aligned} & 4(\cos^3 x - 3\cos x\sin^2 x) - 3\cos x - 3\sqrt{3}(3\sin x\cos^2 x - \sin^3 x) + 4\sqrt{3}\sin^3 x > 0 \\ \iff & 4\cos^3 x - 12\cos x\sin^2 x - 3\cos x - 9\sqrt{3}\sin x\cos^2 x + 3\sqrt{3}\sin^3 x + 4\sqrt{3}\sin^3 x > 0 \\ \iff & 4\cos^3 x - 3\cos x - 12\sin^2 x\cos x - 9\sqrt{3}\sin x\cos^2 x + 6\sqrt{3}\sin^3 x > 0 \end{aligned}$

Теперь заметим, что данное неравенство является кубическим относительно $\cos x$, а при этом мы уже выразили все синусы через косинусы. Решим его с помощью метода кубических уравнений.

Пусть $t = \cos x$. Тогда мы получаем уравнение:

$$$$