Question

Найдите наибольшее значение функции) y=x^3/4-4/x^3 +4√x на отрезке [1/4; 1].

Answer 1

Экстремумов у функции нет,поэтому чтобы найти наибольшее значении функции считаем её значение на концах отрезка и выбираем наибольшее f(1)=0,25-это наибольшее значение функции f(1/4) явно меньше,т.к 4/x^3>x^3/4 и 4/x^3>4*saqrt(x), а 4/x^3- с минусом,значит результат будет отрицательным.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [1/4, 1], необходимо найти ее критические точки и точки экстремума.

1. Найдем производную функции y(x):

y'(x) = (3/4)x^(-1/4) + (12/x^4) + 2/x^(1/2)

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:

y'(x) = 0 (3/4)x^(-1/4) + (12/x^4) + 2/x^(1/2) = 0 3√x + 12/x^3 + 8√x = 0 3√x + 8√x = -12/x^3 11√x = -12/x^3 x = (12/11)^(2/7)

3. Проверим, что найденная точка является точкой минимума:

y''(x) = -(3/28)x^(-7/4) - (48/x^5) - x^(-3/2)

y''((12/11)^(2/7)) ≈ 0.073 > 0

Таким образом, точка x = (12/11)^(2/7) является точкой минимума функции на отрезке [1/4, 1].

4. Теперь остается только подставить найденную точку в функцию y(x), чтобы найти ее максимальное значение на отрезке:

y((12/11)^(2/7)) ≈ 3.928

Ответ: наибольшее значение функции y на отрезке [1/4, 1] равно приблизительно 3.928 и достигается при x = (12/11)^(2/7).