Question

Найдите сумму 10 первых членов последовательности, общий член которого определяется формулой an=2 7-n

Answer 1

Вариантов решение, собственно, несколько, но вот этот, по-моему, один из самых элементарных. 

 

Рассмотрим первые три члена последовательности: а1=12; а2=10; а3=8. Очевидно, что они отвечают определнию арифметической прогрессии с разностью d=-2. Следовательно, остальные члены представляют собой другие члены прогрессии. 

И при этом мы знаем, что сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sn=0.5(a1+an)*n

а1=12; а10=-6, n=10, ну и всё, подставляем в формулу: S10=0.5(12-6)*10=30

Ответ: 30 

Answer 2

Для нахождения суммы первых 10 членов последовательности, общий член которой определяется формулой aₙ = 2^(7 - n), мы можем просуммировать значения от n = 1 до n = 10.

Таким образом, сумма первых 10 членов будет равна:

S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₉ + a₁₀

Заметим, что общий член aₙ можно выразить как:

aₙ = 2^(7 - n) = 2^7 * 2^(-n)

Теперь мы можем записать сумму в виде:

S = 2^7 * 2^(-1) + 2^7 * 2^(-2) + 2^7 * 2^(-3) + ... + 2^7 * 2^(-9) + 2^7 * 2^(-10)

Мы видим, что у нас есть общий множитель 2^7 в каждом члене суммы. Мы также можем заметить, что вторые множители 2^(-1), 2^(-2), 2^(-3), ... 2^(-9), 2^(-10) образуют геометрическую прогрессию с первым членом 2^(-1) и знаменателем 1/2.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r),

где a - первый член, r - знаменатель, n - количество членов.

Применяя эту формулу, получим:

S = 2^7 * (1 - (1/2)^10) / (1 - 1/2)

Вычислим значение этого выражения:

S = 128 * (1 - 1/1024) / (1/2) = 128 * (1024/1024 - 1/1024) / (1/2) = 128 * (1023/1024) / (1/2) = 128 * 1023 / 512 = 256 * 1023 = 261,888

Таким образом, сумма первых 10 членов данной последовательности равна 261,888.