Question

Y=e^2x-4e^x+4 Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-1;2]

Answer 1

Ответ:

2,66 минимум, 29,14 максимум

Объяснение:

Найдем производную функции:

$y'=(e^{2x}-4e^x+4)'=2e^{2x}-4e^x$

Функция, не имеет точек максимума и минимума. Она возрастающая. Значит точки минимума и максимума будут на концах отрезка.

y(1)=e⁻²-4e⁻¹+4≈(2,72)⁻²-4*2,72⁻¹+4≈2,66  точка минимума на отрезке [1;2]

y(2)=e⁴-4e²+4≈2,72⁴-4*2,72²+4≈29,14 точка максимума на отрезке [1;2]

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [-1;2] нужно найти точку, где производная функции равна нулю или не существует, и проверить значения функции в этих точках, а также на концах отрезка.

Давайте найдем производную функции Y по переменной x:

Y' = 2e^(2x) - 4e^x

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2e^(2x) - 4e^x = 0

Вынесем общий множитель:

2e^x(e^x - 2) = 0

Так как экспонента e^x всегда положительна, у нас есть два возможных случая:

1. 2e^x = 0, но это невозможно, так как экспонента никогда не равна нулю.

2. e^x - 2 = 0

Решим второе уравнение:

e^x = 2

Возведем обе части уравнения в натуральный логарифм:

x = ln(2)

Теперь у нас есть две критические точки: x = ln(2) и x = -1 (крайний левый конец отрезка).

Проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка:

Y(-1) = e^(2*(-1)) - 4e^(-1) + 4 = e^(-2) - 4e^(-1) + 4 Y(ln(2)) = e^(2ln(2)) - 4e^(ln(2)) + 4 = 2^2 - 42 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 Y(2) = e^(2*2) - 4e^2 + 4 = e^4 - 4e^2 + 4

Теперь сравним значения функции и найдем наименьшее из них:

Y(-1) = e^(-2) - 4e^(-1) + 4 ≈ 0.1353 Y(ln(2)) = 0 Y(2) = e^4 - 4e^2 + 4 ≈ 50.086

Наименьшее значение функции на отрезке [-1;2] равно 0 и достигается при x = ln(2).