Question

Найдите наибольшее значение функции (x) = x +9\x на отрезке [1; 4].

Answer 1

Находим производную x'=1-9/x^2
x'=0
1-9/x^2=0
1=9/x^2
x=+-3
x(4)=4+9/4=6.25

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции (x) = x +9/x на отрезке [1; 4] необходимо найти точку, в которой достигается максимум функции.

Для этого найдем производную функции:

f'(x) = 1 - 9/x^2

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

1 - 9/x^2 = 0

Отсюда получаем, что x^2 = 9, т.е. x = 3 или x = -3. Однако, наш отрезок [1; 4] не содержит отрицательных значений x, следовательно, единственной критической точкой на этом отрезке является x = 3.

Осталось проверить, достигает ли функция максимума в точке x = 3. Для этого рассмотрим значения функции на концах отрезка:

f(1) = 1 + 9/1 = 10 f(4) = 4 + 9/4 = 13.25

А также значение функции в точке x = 3:

f(3) = 3 + 9/3 = 6

Из этих значений видно, что функция убывает на отрезке [1; 3] и возрастает на отрезке [3; 4]. Следовательно, максимальное значение функции (x) = x +9/x на отрезке [1; 4] достигается в точке x = 4, и равно:

f(4) = 4 + 9/4 = 13.25

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 13.25.