Question

Требуется изготовить открытый цилиндрический бак емкостью (1000 см в кубе).При каком радиусе основания на изготовление бака уйдет наименьшее количетво материала?

Answer 1

Объем цилиндра:

V=πHR² = 1000см³ => H=1000/πR²

Площадь поверхности цилиндра:

S=2πR²+2πHR=2πR²+(1000·2πR)/(πR²)=2πR²+2000/R

Берем производную по R

S'=4πR-2000/R²

Чтобы найти минимум - надо приравнять производную к нулю (найти точку экстремума)

4πR-2000/R²=0 =>(4πR³ - 2000)/R² = 0; R²≠0 => 4πR³ - 2000=0 =>4πR³ = 2000,

R=∛(500/π)≈5.42

-                                      +

--------------------------*-------------------------->

S(R) убывает          5,42      S(R) возрастает

R - точка минимума.

Ответ: при радиусе 5,42 см расход материала минимален

Answer 2

Чтобы определить, при каком радиусе основания будет использовано наименьшее количество материала для изготовления цилиндрического бака, нужно рассмотреть функцию, связанную с площадью поверхности бака.

Площадь поверхности бака можно выразить через радиус основания и высоту следующим образом:

S = 2πr² + 2πrh,

где r - радиус основания, h - высота бака.

Так как нам задана емкость бака (1000 см³), мы можем использовать эту информацию для определения высоты в терминах радиуса основания. Объем цилиндра можно выразить следующим образом:

V = πr²h.

Подставим заданную емкость и выразим h через r:

1000 = πr²h h = 1000 / (πr²).

Теперь можем подставить это выражение для высоты в формулу для площади поверхности:

S = 2πr² + 2πr(1000 / (πr²)) S = 2πr² + 2000 / r.

Теперь наша задача сводится к минимизации этой функции площади поверхности. Для этого можно взять производную от S по r, приравнять её к нулю и найти решение.

dS/dr = 4πr - 2000/r² = 0.

Умножим обе части уравнения на r²:

4πr³ - 2000 = 0.

Теперь перенесём все члены в одну сторону уравнения:

4πr³ = 2000.

И разделим обе части на 4π:

r³ = 500 / π.

И, наконец, возьмём кубический корень от обеих сторон:

r = ∛(500 / π).

Таким образом, радиус основания, при котором будет использовано наименьшее количество материала, составляет примерно 6.37 см (округленное до двух десятичных знаков).