Question

Доведіть, що 97^3+78^3+97^2-79^2 ділиться на  175

Answer 1

1)найдём, чему равно 97^3 + 78^3

97^3 + 78^3 = (97+78)(97^2 - 97*78 + 78^2) = 175*(97^2 - 97*78 + 78^2) - стандартная формула суммы кубов

 

2)найдём теперь значение всего остального:

97^2 - 79^2 = (97 + 79)(97 - 79) = 176(97 - 79) - стандартная формула разности квадратов

однако здесь в конце один из множителей 176, так что скорее в условии не 79^2, а 78^2.

Тогда (исправив опечатку) по формуле разности квадратов получится 97^2 - 78^2 = (97 + 78)(97 - 78) = 175(97 - 78)

 

3)В конечном итоге, складывая 1) и 2) получим 97^3 + 78^3 + 97^2 - 79^2 = 175*(97^2 - 97*78 + 78^2) + 175(97 - 78) = 175*(97^2 - 97*78 + 78^2 + (97 - 78)). 

 

4) конечное выражение содержит множитель 175, следовательно 175*(97^2 - 97*78 + 78^2 + (97 - 78)) делится на 175!  конечное выражение = начальному, то есть мы доказали то, что нужно! Внимательно посмотреть на опечатку!

 

Answer 2

Для доведення того, що вираз $97^3 + 78^3 + 97^2 - 79^2$ ділиться на 175, ми можемо скористатися конгруентністю модулю 175.

Основна ідея полягає в тому, щоб використати конгруентність $a \equiv b \pmod{m}$, яка означає, що $a$ і $b$ дають однаковий остачу при діленні на $m$.

Спочатку розкладемо кожен доданок нашого виразу:

$97^3 + 78^3 + 97^2 - 79^2$

$= (97^3 - 79^3) + (78^3 + 97^2 - 79^2)$

$= (97 - 79)(97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2) + (78^3 + 97^2 - 79^2)$

$= 18(97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2) + (78^3 + 97^2 - 79^2)$

Тепер ми можемо зосередитися на першому доданку $18(97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2)$ і перевірити, чи він ділиться на 175.

Зауважте, що $175 = 7 \cdot 5^2$. Тому, щоб довести, що вираз ділиться на 175, ми повинні довести, що він ділиться як на 7, так і на $5^2$.

1. Доведення ділення на 7: За допомогою конгруентності, ми можемо спростити $97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2$ модулю 7:

$97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2 \equiv 2^2 + 2 \cdot 2 + 2^2 \equiv 4 + 4 + 4 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$

Таким чином, перший доданок $18(97^2 + 97 \cdot 79 + 79^2)$ ділиться на 7.

2. Доведення ділення на $5^2$: Знову за допомогою конгруентності, ми можемо спростити $78^3 + 97^2 - 79^2$ модулю $5^2$:

$78^3 + 97^2 - 79^2 \equiv 3^3 + 2^2 - 4^2 \equiv 27 + 4 - 16 \equiv 11 \pmod{25}$

Таким чином, другий доданок (78^3 + 97^2