Question

Решите ур-е! 10 класс-5 sin 2x - 16(sin x - cos x)+8=0

Answer 1

5-5sin2x-16(sinx-cosx)+3=5(sinx-cosx)²-16(sinx-cosx)+3=0 
y=sinx-cosx ⇒ 5y²-16y+3=0 ⇒y1=3 y2=1/5 
sinx-cosx=3  решений нет, т.к и син и кос могут иметь значения от -1 до+1 
sinx-cosx=1/5 ⇒ $2sin(x/2)cos(x/2)-cos ^{2}(x/2)+sin ^{2}( x/2) = \frac{1}{5} sin ^{2} (x/2)+ \frac{1}{5 } cos ^{2} (x/2)$⇒делим на cos²(x/2) ⇒ $2tg \frac{x}{2} -1+ tg^{2} \frac{x}{2} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} tg ^{2} \frac{x}{2}$⇒  $5tg ^{2} \frac{x}{2} +2tg \frac{x}{2} -3=0$ ⇒ 2y²+5y-3=0 ⇒ y1 =1/2 y2=-3 ⇒tg(x/2)=1/2 x/2=arctg(1/2)+πk x=2arctg(1/2)+2πk< u tg(x/2)=-3 x=2arctg3+2πk

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом.

Уравнение: 5sin(2x) - 16(sin(x) - cos(x)) + 8 = 0

Распишем уравнение и приведем его к более простому виду:

5sin(2x) - 16sin(x) + 16cos(x) + 8 = 0

Посмотрим на второе и третье слагаемое: -16sin(x) + 16cos(x). Мы можем заменить их на одно слагаемое, используя тригонометрическую формулу:

-16sin(x) + 16cos(x) = -16sqrt(2) * sin(x - pi/4)

Теперь уравнение примет вид:

5sin(2x) - 16sqrt(2) * sin(x - pi/4) + 8 = 0

Поделим каждый коэффициент на 8:

(5/8)sin(2x) - 2sqrt(2)/8 * sin(x - pi/4) + 1 = 0

Упростим еще немного:

(5/8)sin(2x) - sqrt(2)/4 * sin(x - pi/4) + 1 = 0

Теперь введем новую переменную u = sin(x - pi/4). Уравнение станет:

(5/8)(2sin(x)cos(x)) - sqrt(2)/4 * u + 1 = 0

(5/4)sin(x)cos(x) - sqrt(2)/4 * u + 1 = 0

Мы знаем, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x), поэтому:

(5/4)sin(2x) - sqrt(2)/4 * u + 1 = 0

(5/4)u - sqrt(2)/4 * u + 1 = 0

Теперь можно выразить u:

(5/4 - sqrt(2)/4)u = -1

u = -1 / (5/4 - sqrt(2)/4)

u = -4 / (5 - sqrt(2))

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной sin(x - pi/4):

sin(x - pi/4) = -4 / (5 - sqrt(2))

Теперь найдем обратный синус от обеих сторон:

x - pi/4 = arcsin(-4 / (5 - sqrt(2)))

x = pi/4 + arcsin(-4 / (5 - sqrt(2)))

Таким образом, решение уравнения равно:

x = pi/4 + arcsin(-4 / (5 - sqrt(2)))

Обратите внимание, что это аналитическое решение, и оно выражено с использованием арксинуса. Значение угла x будет зависеть от диапазона значений, в котором вы хотите найти решение.