Question

Четвертый член арифметической прогрессии равен 16, а сумма седьмого и десятого 5. Найдите сумму первых восемнадцати членов прогрессии Полное решение! !

Answer 1

Член арифметической прогрессии (начиная со второго) задаётся формулой:

aₙ = a₁+(n-1)·d,  n = 2, 3, 4, ...

a₁ - первый член прогрессии. d - разность ариф. прог. d =

a₄ = a₁+(4-1)·d = a₁+3d = 16

a₇+a₉ = (a₁+(7-1)·d) + (a₁+(10-1)·d) = a₁+6d+a₁+9d = 2a₁+15d = 5

Составим систему двух уравнений с двумя переменными:

$\displaystyle -\left \{ {{a_1+3d=16\;|\cdot 2} \atop {2a_1+15d=5\quad }} \right.\\\\\left \{ {{a_1=16-3d\qquad \qquad \qquad \qquad } \atop {2a_1-2a_1+6d-15d=32-5}} \right. \\\\\left \{ {{d=\dfrac{27}{-9}=-3\qquad \qquad } \atop {a_1=16-3\cdot (-3)=25}} \right.$

Сумма первых n членов ариф. прог. вычисляется по формуле:

$S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2} \cdot n=\dfrac{a_1+a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\\\\=\dfrac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2} \cdot n$

S₁₈ = $\dfrac{2\cdot 25+(18-1)\cdot (-3)}{2} \cdot 18$ = (50-3·17)·9 = (50-51)·9 = -1·9 = -9

Ответ: -9.

Answer 2

Чтобы найти сумму первых восемнадцати членов арифметической прогрессии, нам сначала нужно найти разность прогрессии (d) и первый член прогрессии (a₁).

Известно, что четвертый член прогрессии равен 16. Обозначим его как a₄. Также известно, что сумма седьмого и десятого членов равна 5. Обозначим седьмой член как a₇ и десятый член как a₁₀.

Используем формулу для нахождения a₄: a₄ = a₁ + 3d = 16 (1)

Используем формулу для нахождения суммы трех членов: a₇ + a₁₀ = 2a₁ + 9d = 5 (2)

Решим эту систему уравнений. Выразим a₁ из уравнения (1):

a₁ = 16 - 3d (3)

Подставим выражение для a₁ в уравнение (2):

2(16 - 3d) + 9d = 5

32 - 6d + 9d = 5 3d = -27 d = -9

Теперь найдем значение a₁, подставив найденное значение d в уравнение (3):

a₁ = 16 - 3(-9) = 16 + 27 = 43

Итак, первый член прогрессии (a₁) равен 43, а разность прогрессии (d) равна -9.

Теперь можем найти сумму первых восемнадцати членов прогрессии, используя формулу для суммы прогрессии:

S₈₈ = (n/2)(2a₁ + (n-1)d)

где n - количество членов прогрессии.

Подставим значения в формулу:

S₈₈ = (18/2)(2(43) + (18-1)(-9)) = 9(86 + 17(-9)) = 9(86 - 153) = 9(-67) = -603

Следовательно, сумма первых восемнадцати членов прогрессии равна -603.