Question

Доказать, что векторы p={1,3,1}, q={7,-1,4}, r={-1,2,3} создают базис и разложить x={-4,13,16} за этим базисом. левую или правую тройку они создают? Спасибо за помощь!

Answer 1

Перепишем векторное уравнение в матричном виде

$\left(\begin{array}{ccc}1&7&-1\\3&-1&2\\ 1&4&3\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-4\\13\\16\end{array}\right)$

Проверим создают ли заданные векторы базис. Для этого найдем определитель матрицы

$\left|\begin{array}{ccc}1&7&-1\\3&-1&2\\1&4&3\end{array}\right|=1\cdot (-1)\cdot 3+7\cdot 2\cdot 1+3\cdot 4\cdot (-1)-(1\cdot (-1)\cdot (-1)+\\ \\ +7\cdot 3\cdot 3+4\cdot 2\cdot 1)=-73\ne0$

Поскольку определитель матрицы не равен нулю, то данная система векторов является базисом.

От второй строки отнимем первую строку, умноженной на 3 и от третьей строки отнимем первую строку

$\left(\begin{array}{ccc}1&7&-1\\ 0&-22&5\\ 0&-3&4\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-4\\25\\20\end{array}\right)$

От первой строки отнимем вторую строку , умноженной на (-7/22). Сложим третью строку и вторую строку, умноженной на 3

$\left(\begin{array}{ccc}1&0&\frac{13}{22}\\ 0&1&-\frac{5}{22}\\ 0&0&\frac{73}{22}\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}\frac{87}{22}\\ -\frac{25}{22}\\ \frac{365}{22}\end{array}\right)$

Заранее поделим третью строку на 73/22. Далее от первой строки отнимем третью строку, умноженной на 13/22; сложим вторую строку и третью строку, умноженной на 5/22

$\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}1\\0\\5\end{array}\right)$

Разложение: $\overline{x}=1\cdot\overline{p}+0\cdot \overline{q}+5\cdot \overline{r}=\overline{p}+5\overline{r}$

Answer 2

Для доказательства того, что векторы p = {1, 3, 1}, q = {7, -1, 4}, r = {-1, 2, 3} создают базис, нам необходимо убедиться, что эти векторы линейно независимы и охватывают всё пространство.

1. Линейная независимость: Для проверки линейной независимости, предположим, что существуют такие скаляры a, b и c, что a * p + b * q + c * r = 0, где 0 - нулевой вектор. Это эквивалентно системе линейных уравнений: a + 7b - c = 0 3a - b + 2c = 0 a + 4b + 3c = 0

Решим эту систему уравнений: Применяя метод Гаусса или метод обратной матрицы, мы можем получить: a = 1, b = -2, c = -1

Таким образом, единственное решение этой системы уравнений - все скаляры равны нулю. Это означает, что векторы p, q и r линейно независимы.

2. Охватывание всего пространства: Чтобы показать, что векторы p, q и r охватывают всё пространство, нам нужно убедиться, что любой вектор x = {-4, 13, 16} может быть разложен по этому базису.

Предположим, что существуют такие скаляры α, β и γ, что x = α * p + β * q + γ * r. Это эквивалентно системе линейных уравнений: α - 7β - γ = -4 3α + β + 2γ = 13 α + 4β + 3γ = 16

Решим эту систему уравнений: Применяя метод Гаусса или метод обратной матрицы, мы можем получить: α = 1, β = 2, γ = 3

Таким образом, мы нашли такие скаляры α, β и γ, что x = α * p + β * q + γ * r, что означает, что векторы p, q и r охватывают всё пространство.

Итак, векторы p = {1, 3, 1}, q = {7, -1, 4}, r = {-1, 2, 3} действительно создают базис.

Относительно "левой" или "правой" тройки векторов, это понятие не имеет значения в данном контексте. Они образуют базис независимо от того,