Question

Докажите, что функция y=2(x-3)^2 возрастает на промежутке [3; +бесконечность)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для доказательства того, что функция y = 2(x - 3)^2 возрастает на промежутке [3; +бесконечность), мы должны показать, что её производная положительна на этом промежутке.

Для начала найдём производную функции y по переменной x. Используя правило дифференцирования сложной функции, получим:

y' = d/dx [2(x - 3)^2] = 2 * d/dx [(x - 3)^2]

Применим правило дифференцирования степенной функции и умножение на константу:

y' = 2 * 2(x - 3) * 1 = 4(x - 3)

Теперь проанализируем знак производной, чтобы определить поведение функции на заданном промежутке [3; +бесконечность).

Рассмотрим выражение 4(x - 3). Заметим, что на промежутке [3; +бесконечность) значение x всегда больше или равно 3. Тогда x - 3 будет всегда неотрицательным числом или равняться нулю. Следовательно, выражение 4(x - 3) всегда неотрицательное или равно нулю.

Таким образом, мы показали, что производная функции y равна или больше нуля на промежутке [3; +бесконечность). Согласно теореме о знаке производной, это означает, что исходная функция y = 2(x - 3)^2 возрастает на этом промежутке.

Таким образом, функция y = 2(x - 3)^2 действительно возрастает на промежутке [3; +бесконечность).