Question

Как решается интеграл: dx/x(1+x)^2 .

Answer 1

1/x(1+x)^2 = A/x + B/(1+x) + C/(1+x)^2
A*(1+x)^2 + B*x*(1+x) + C*x = 1
Ax^2 + 2Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx = 1
(^0) --> A = 1
(^1) -> 2A + B + C = 0
(^2) -> A + B = 0
--> A = 1, B = -1, C = -1
1/x(1+x)^2 = 1/x - 1/(1+x) - 1/(1+x)^2

--> ∫ dx/x(1+x)^2 = ∫ dx/x - ∫ dx/(1+x) - ∫ dx/(1+x)^2 = ln|x| - ln|1+x| + 1/(1+x) + C

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться методом частичных дробей. Давайте разложим функцию подынтегрального выражения на простейшие дроби.

Имеем: 1/x(1+x)^2 = A/x + (Bx + C)/(1+x)^2

Чтобы найти значения коэффициентов A, B и C, выполним следующие действия:

1. Умножим обе части уравнения на x(1+x)^2: 1 = A(1+x)^2 + (Bx + C)x

2. Подставим значения x = 0, x = -1 и x = ∞, чтобы получить три уравнения: При x = 0: 1 = A При x = -1: 1 = 4A - B + C При x = ∞: 0 = A

Из первого и третьего уравнений следует, что A = 1 и C = 0. Подставляя эти значения во второе уравнение, получим: 1 = 4 - B B = 3

Теперь можем переписать исходный интеграл с использованием найденных коэффициентов: ∫(dx/x(1+x)^2) = ∫(dx/x) + 3∫(dx/(1+x)^2)

Первый интеграл ∫(dx/x) равен ln|x| + С, где C - произвольная постоянная.

Для решения второго интеграла воспользуемся заменой переменной. Пусть t = 1 + x, тогда dt = dx и изменение пределов интегрирования будет следующим: при x = -∞ получим t = 0, при x = 0 получим t = 1, а при x = ∞ получим t = ∞.

Тогда ∫(dx/(1+x)^2) = ∫(dt/t^2) = -1/t + С' = -1/(1+x) + С', где С' - другая произвольная постоянная.

Таким образом, окончательное решение исходного интеграла будет: ∫(dx/x(1+x)^2) = ln|x| - 1/(1+x) + С + С', где С и С' - произвольные постоянные.